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2.1.2 “ペアノの公理”の読み方

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• 先ず,“系列”の図式

に対し，これの項全体の集合が集合 である。そして先頭の項が１である。
ｆは，各項にその直後の項(“後者(successor)")を対応させる関数である。


• ｆが対応一般（一つの要素に複数の要素が対応することを許す）ではなく，一意対応（一つの要素に一つの要素が，しかもただ一つの要素が，対応する）としての関数であるという点は，本質的である。
  “系列”の図式は，

のように枝分かれするものではない。この枝分れを禁止するのが，ｆが一意対応であるという条件である。


• “何の後でもない”が“先頭”の意味である。そこで，条件1°によって，１を先頭として定義している。
  
  
• しかしここで，先頭が一つに限るのかどうかが，心配になる。
  他にも先頭があったとしよう。このとき，別々の先頭から出発する列は先でつながることはない。というのも，条件2°によって

の形が禁止されているからである。
そこで可能性として残るのは， が互いに独立した複数の系列で成るという状態である。しかしこの状態は，条件3°^(註1)によって禁止されている。実際，

のように ′をとると， ′は3°の中の ′の条件を満たしているから ′＝ でなければならない。
結局， は一本の系列でなければならないことになる。


• また条件2°は，系列がどこかで終わる状態

を禁止することにも効いている。実際，

とすると，これはｘ＝ｆ(ｙ) かつｘ＝ｆ(ｘ) の場合である。ところがこのときには，条件2°よりｘ＝ｙでなければならず，ｘ≠ｙに反する。


• いま，整数ｎ≧0^(註2)に対し，ｆⁿ： ─→ を

ｆn ＝		ｆのｎ回の合成　（ｎ＞0）
		恒等関数　　　　（ｎ＝0）

で定義するとしよう。このとき，ｆⁿ(1)（ｎ≧0）の全体が である^(註3)。
そしてこのとき，生活実践の中の“1",“2",“3",････に対して,“ｆ⁰(1),ｆ¹(1),ｆ²(1),････の名”という解釈が，改めて立つことになる。

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(註1)	条件３°は,“数学的帰納法の公理”と呼ばれる。 実際，命題関数Ｐ(ｘ）に対する命題 “すべての自然数ｘに対しＰ(ｘ)は真” は， ′＝｛ｘ│ｘ かつＰ(ｘ）｝とおいたときの命題 “ ′＝ ” と同じ。そしてこれを条件３°を適用して証明するとき，条件３°を“数学的帰納法の公理”として用いたということになる。
(註2)	ここでの“整数ｎ≧0”は，目下自然数を論じているところの言語(“メタ言語")に属する。したがって，後で，自然数の拡張としての整数が登場するが，循環論法ではない。
(註3)	条件３°の直接の適用。