の間の関係ｘ≦ｙを，ある整数ｎ≧0 に対してｆn（ｘ)＝ｙとなることと定義する。また，ｘ＜ｙを，ｘ≦ｙかつｘ≠ｙのことと定義する。
≦は，
の上の順序関係──実際には，全順序関係──になる(註))。
なお,“入れ篭型”の自然数系列では，
ｘ＜ｙ
ｘｙ
である。
（註） 順序関係とは，以下の条件で定義される関係≦のこと：
1°ｘ≦ｘ （反射法則);
2°ｘ≦ｙかつｙ≦ｘならばｘ＝ｙ
（反対称法則);
3°ｘ≦ｙかつｙ≦ｚならばｘ≦ｚ
（推移法則).
さらに，条件
4°任意のｘ,ｙに対し,ｘ≦ｙあるいはｙ≦ｘ
（比較可能）
が加わった順序関係は，特に全順序関係，あるいは線形順序関係，と呼ばれる。
の要素に対してここで定義した≦が全順序関係であることの証明は，つぎのようになる（証明の中の“＋”や“−”は，証明の言語(“メタ言語")に属する)：
ｆ0（ｘ)＝ｘより，ｘ≦ｘ。
ｆm（ｘ)＝ｙかつｆn（ｙ)＝ｘのとき，ｆm+n（ｘ)＝ｘ。もしｍ＋ｎ≠0 であれば，ｆ1(ｘ),････,ｆm+m(ｘ)＝ｘのどれかが１。しかしこのときには，ｆ（ｗ)＝１となる
の要素ｗが存在することになり， の条件１°に反する。したがって，ｍ＋ｎ＝0，即ちｍ＝ｎ＝0。結局，ｘ＝ｙ。
ｆm（ｘ)＝ｙかつｆn（ｙ)＝ｚのとき，ｆm+n（ｘ)＝ｚ，よって，ｘ≦ｚ。
はｆn(1)（ｎ≧0）の全体と一致する。一方ｍ≦ｎのとき，ｆn-m(ｆm(1))＝ｆn(1) より，，ｆm(1)≦ｆn(1)。