「数とは何か?」への答え
いろいろな数がつくられるしくみ 数は量の比 |
算数・数学科教材研究──数の定式化 |
目 次
1 数の定式化の方法 2 数の自己完結的定式化
2.1.2 “ペアノの公理”の読み方 2.1.3 の構成的定義
2.1.3.2 自由半群からの“自然数の系”の導出 2.1.4 カテゴリカルな公理系 2.1.5 順序関係の導入 2.1.6 加法の導入 2.1.7 乗法の導入 2.1.8 の構造 2.2 数の拡張 2.3 “数の系”
2.3.2 数の系の構造 2.4 R
2.4.2 順序関係の導入 2.4.3 加法の導入 2.4.4 乗法の導入 2.4.5 Rの構造 2.4.6 Rの中へのの埋め込み 2.4.7 “自然数の除法” 2.4.8 “アルキメデスの公理” 2.5 D(=整数の系)
2.5.2 順序関係の導入 2.5.3 加法の導入 2.5.4 乗法の導入 2.5.5 D の構造 2.5.6 D の中へのの埋め込み 2.5.7 “自然数の減法” 2.5.8 乗法の解釈 2.6 (D)R(=有理数の系)
2.6.2 順序関係の導入 2.6.3 加法の導入 2.6.4 乗法の導入 2.6.5 (D)Rの構造 2.6.6 (D)Rの中へのD の埋め込み 2.7 (R)D
2.7.2 (R)Dの中へのRの埋め込み 2.7.3 (R)Dと(D)Rの同型性 2.8 “閉じた”拡張
2.8.2 (D)DとDの同型性 2.8.3 (((R)D)RとRDの同型性 2.8.4 ((D)R)DとRDの同型性 3 量に随伴する数 1
3.2 “量”の概念の領分 3.3 “量”の一般的形式 3.4 “量”に対する三つの二分法 3.5 内算法+が定義されている場合
3.5.2 “数の系”としての(Q,≦,+) 3.5.3 “数の系”の構成としての(Q,≦,+)の構成 3.5.4 離散量からの稠密量の構成と,稠密量からの離散量の導出 3.5.5 “比”の系 3.5.6 系((Q,≦,+),(N,≦,+,×),×) 3.5.7 “差”の系 3.5.8 系((Q,≦),((D,≦,+),(N,≦,+,×),×),+) 3.6 内算法+が定義されていない場合
3.6.2 “差”の系
3.6.2.2 (Q,≦)が稠密の場合 3.6.3 系((Q,≦),((D,≦,+),(DR,≦,+,×),×),+) 3.7 量の一般形((Q,≦),((D,≦,+),(DR,≦,+,×),×),+) |
構成 | 条件規定 | |
自己完結 | ||
量に随伴 |
自然数の系は,先ず,集合と,の一つの要素1と関数f:─→の組
2° の要素x,yについてf(x)=f(y)ならばx=y; 3° の部分集合′は,つぎの条件を満たすとき,実はと一致している:
xが′の要素のとき,f(x)も′の要素. |
fn = | fのn回の合成 (n>0) | |
恒等関数 (n=0) |
1° | h(1) = 1 |
2° | つぎの図式は可換: |