数指導のゴールと方法 宮下　英明　　　　　 金沢大学教育学部　　 1 〈ノウ・ハウ〉対〈構造理解に立つ論理計算〉 　数学学習の一つのゴールは，数学を課題処理の道具として適切に使えるようになるということである。 　道具としての数学の使われ方は，“代替”である。実際に処理しなければならない生活的対象が数学的対象に代替され(■数学化")，その数学的対象が操作され，操作の結果得られた数学的対象から一つの生活的対象を所要のものとして復元する。即ち，周知の図式： 生活的問題 �｢■ 生活的解 　　�､　　　　　　 ■ 　 　　■　　　　　　 �､ 　 数学的問題 �｢■ 数学的解 で表わされるところの実践形態である。 　“代替”の根拠は“同形(型)”である。生活的課題をある形式のものとして捉え，これと同形な数学的世界を選ぶ。そして，同形対応を介して処理を数学の世界にうつし，処理の結果を受け取る。 　“数学学習の一つのゴールは数学を課題処理の道具として適切に使えるようになること”と言うとき，二つのゴール観が両極的に区別される。一つは，“適切な使用”を〈ノウ・ハウ〉と理解するもの，そしてもう一つは，“適切な使用”を〈論理計算〉──“代替”の構造の理解に立つ論理計算──と理解するものである。 2 数学科と生活科 　算数科には，数学科と生活科の二面性がある。〈ノウ・ハウ〉は，《生活科としての算数科》の立場から合理化できる。《数学科としての算数科》では，逆に,〈論理計算〉──“代替”の構造の理解に立つ論理計算──に即くことになる。 　現行の指導は，〈ノウ・ハウ〉か〈論理計算〉か？ということでは，〈ノウ・ハウ〉の方に即いていることになる。実際， “このときには，このような理由から足し算が道具として使えます” という指導よりは， “このときには足し算をしなさい。なぜならそれが足し算の意味なのだから” という指導が採られている。 3 代替と混同 　数の意義は数の使用にあり，そして数の使用は“代替”である。 　代替しているものは代替されているものと混同されやすい。数と量の混同は，この種の混同である。 　現行の指導は学習への入りやすさのための措置として《数と量の混同の助長》を採用していると言えるが，この指導法は〈論理計算〉──“代替”の構造の理解に立つ論理計算──を阻害する方向を向いていることになる。 　実際，“数指導”を“数の道具性の指導”と位置づけることになる〈論理計算〉の立場では，反対に，《数と量の剔抉》こそが目指されねばならないわけである。数と量の混同を指導の方便に用いるとき，数の道具性の指導が不可能になる。 〈意味〉と〈使用の様相〉の混同 　“使用”の観点が欠落しているとき，対象の意味とそれの使用の様相の混同が起こる。対象使用の異なる様相が，そのまま，対象の異なる意味と錯認されてしまうことになる■)。 （註） 分数に対し“割合分数",“操作分数",“量分数"(単位つき分数としての）のような類別をするのは，このような錯認である。 4 ノウ・ハウのつけ 　〈ノウ・ハウ〉は入りやすいが破綻しやすい。──〈“代替”の構造の理解に立つ論理計算〉は入りにくいが，破綻しにくい。 　例えば，現行では学習への入りやすさの考慮から，“割り算”を“分けること”あるいは“分けて得られたもの”にする。分数を“分けて集めること”あるいは“分けて集めて得られたもの”にする。確かに，子どもはこの措置によってそのときは助かる。しかしやがてこのつけが回ってくる──子どもばかりでなく教師にも。 　例えば，“÷分数”の理屈が立たなくなる。現行はこれを“形式不易”で，即ちノウ・ハウでやり過ごす。しかしそのノウ・ハウは,“÷”と“分数”それぞれの導入時のものとは違っている。 　ノウ・ハウではじめると，以降場当り的（アド・ホック）なノウ・ハウの導入でやっていかざるを得なくなる。はじめはよいが，後でひどくなるのである──子どもも教師も。 5 〈ノウ・ハウ〉の指導の不明 　〈ノウ・ハウ〉に即く指導は，“特殊”からの主題導入や内容の小出しを常套としている。そしてこの方法は，不明の隠蔽の上に成立する。逆に，この指導では，学習者から不明の指摘のないことが当てにされていることになる。 　“学習の容易のために，特殊から始めたり内容を小出しにする”という考え方があるとすれば，それは改めねばならない。特殊から始める/内容を小出しにするとは，実際には，《不明を隠して指導を進める》ということである。不明に気づきこれに拘る者が現われるとき，この指導は破綻する。 5.1 “特殊”の不明 　主題の“特殊”からの導入は，体系の隠蔽のもとにできることであって，特にそれは循環論法になる。このときの“特殊”に対置されるものは，“一般”ではない。“体系”である。 　例として，現行の小数の導入（第３学年）を見るとしよう。キーとなる言い回しで示せば，それはつぎのように進む： (1) “1dl の 1/10 を 0.1dl と書く” (2) “0.1dl の 3つ分が 0.3dl” (3) “0.3 のような数を小数と言う” (4) “0.3 は 0.1 を 3つあつめた数” ここでは，つぎのことの不明に学習者が気づかないことを当てにしている： (i) “0.3dl”から“dl”がとれて“0.3”が独立し，かつそれが“数”と身分づけられること。 (") “0.1 を３つあつめる”の意味。 これらは，体系（数の系ないしスカラの系としての小数の系）を以って説明されることである。したがって，小数のこの導入が体系導入の端緒だとすれば，《体系を用いて体系をつくる》という循環論法になる。 5.2 内容の小出しにおける不明 　内容の小出しでは，主題そのものが指導内容から後退する。 　例えば,“1,2,････”の導入は自然数の十進生成規則の主題化──即ち，“カウンタの仕組み”の主題化──であるが，現行の枠組み： 10までの数 �｢■ 20までの数 　　　　 �｢■ 100までの数 �｢■ 1000までの数 �｢■ 大きい数 　　　　　　　　　　 ではこの主題が不明になる。 6 〈論理計算〉に即く算数科の模索 　〈ノウ・ハウ〉と〈論理計算〉のどちらを選ぶべきか？──このように問いたいところであるが，〈論理計算〉の立場でつくられた算数科を持っていないわれわれにはこの選択肢は無い。〈ノウ・ハウ〉か〈論理計算〉かの選択を問題にできるのは，〈論理計算〉に即く算数科が可能であることが言えてからである。 　〈論理計算〉を現行の算数科に対置するときは，それは“標準的”と呼び得るものに仕上がっていなければならない。課外授業のようであってはならない。 　こうして，当面の問題は “標準的な算数科は〈論理計算〉の立場からも可能か？” である。可能でなければ，〈ノウ・ハウ〉をとるしかないわけである。 7 意味論的組み替え 　〈ノウ・ハウ〉に対する〈論理計算〉の対置は，新しい主題の導入や指導の総時間数の変更を意味しない。扱う主題は同じであり，異なるのは主題の意味論である。即ち，学習者の課題はこれまでと同じであり，課題解決を導く考え方がこれまでとは違う。もちろん，その課題解決は，これまでより負担の大きいものであってはならない。──これが，“標準的”と言ってきたことの意味である。 8 〈論理計算〉に即く数指導の模索 　以上述べてきた認識のもとに，わたしは〈論理計算〉に即く数指導を模索してみようと思う。ゴールは“標準的”と呼ばれ得る指導であり，そこに至らなければ試みは失敗である。 9 数/量形式 　〈論理計算〉──“代替”の構造の理解に立つ論理計算──の指導を模索しようとする者として，先ず,“数”に対するわたしの理解が試されねばならない。 　わたしは“数”とその使用を以下のように理解する。 9.1 数形式，数の系 　“数”概念の根拠は，数の道具的使用の諸現象である。生活(世界)における数の使用が先ずあって，“数”がわれわれの対象（われわれにとっての存在）になる。 　“数”の条件は，このような使用に足るための条件である。その条件は，“数形式”として述べ得る。そして，数形式をもつ系──個々の系──が，数の系である。 　数の使用は数の系の使用であり，これも形式として述べ得る。そしてこのような形式の一つに，“量形式”が考えられる。 9.2 数/量形式の恣意性 　数/量形式は，“実在の事実”のように存在するのではない。それは，対象化の一形式である。そして，《対象化は，ある都合に従う対象化である》の意味で，数/量形式は一つの恣意性である。 　数/量形式の規定に依存して，“数/量”が決まる。規定の変更により,“数/量”になるものが変わる。 　例えば，“硬度”を量にするような量形式を考えることは可能である。しかし，代数的構造──加法と倍作用が定める構造──を量形式の含意と考えることにすれば，“硬度”は量ではなくなる。 　本論考では，数/量形式を， 〈小学校算数からはじまる学校数学で，“数/量”領域の内容として学習者に課しているところの内容〉 を説明できる形式として，以下のように規定する。 9.3 数の系の特定，数形式の規定 　われわれが既に“数”と呼んでいるものの特定を，数の系の特定と考えるとしよう。 　“数”は一つではない。自然数，整数，有理数，実数，複素数，四元数といったように，色々ある。われわれは，これらを数形式の色々な現われであると考え，これらに通底する形式を“数形式”と規定することにしよう。 　ここでは“数の系”を，集合Ｎとその上の二つの内算法＋(加法)，×(乗法)でなる系 (Ｎ,＋,×) でつぎの条件──数形式──を満たすもの，と定義する： (1) ＋は結合的かつ可換． (2) ×は結合的で■)，単位元１■Ｎ* が存在する． (3) ＋と×の間に左右分配法則が成り立つ： ξ×(η＋ζ)＝ξ×η＋ξ×ζ (η＋ζ)×ξ＝η×ξ＋ζ×ξ (4) 各要素は，＋に関して可約；即ち， ξ＋η＝ξ＋ζ ■■ η＝ζ (5) Ｎ*の各要素は，×に関して左右可約；即ち，ξ■Ｎ* に対し， ξ×η＝ξ×ζ ■■ η＝ζ η×ξ＝ζ×ξ ■■ η＝ζ (6) 任意の要素ξ,ηに対し，要素ζで，ξ＋ζ＝ηかξ＝η＋ζとなるものが存在する． ここでＮ*は，Ｎが零元０── ＋に関する中立元──をもつときはＮ■{０}，そうでないときはＮ自身。 （註） ×の可換性は,“四元数”を考慮して，条件に含めない。 9.4 量/位の系，量/位形式 　“量”を，量形式をもつ系──この意味での，量の系──と考える。さらに，時間や長さを量の系としたときの，これに対する時刻や高さの定式化として，位の系──位形式をもつ系──を考える。 9.4.1 量/位形式 　《一つの数の系にそれの使用形式として一つの量形式が応ずる》とする立場から，数の系 (Ｎ,＋,×) に対する系 ((Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×) を，(Ｎ,＋,×) に応ずる量形式と規定する。さらに，これを因子とする系 (Ｎ,((Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×),＋) を，(Ｎ,＋,×) に応ずる位形式と規定する。 　量形式および位形式の因子 Ｎ,(Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×,＋ は数の系 (Ｎ,＋,×) から分離したものであり，量形式 ((Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×) は 《第一因子の (Ｎ,＋) に第二因子の (Ｎ,＋,×) が第三因子の×によって作用する系》 と読まれ，位形式 (Ｎ,((Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×)),＋) は 《第一因子の Ｎ に第二因子の ((Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×) が第三因子の＋によって作用する系》 と読まれる。 　　　　　　　　　　■�｢数の系�｢■ 　 ＋ 　　 　　 × 　　 　 　　 Ｎ ■�｢ (Ｎ,＋) ■�｢ (Ｎ,＋,×) 　　　 ■──�｢ 量形式 ────■ ■────�｢ 位形式 ──────■ 9.4.2 量/位の系 　〈量形式を伴う系〉としての量の系は，このとき，((Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×) と同型な系 ((Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),■) のことである。存在論的には，素材（事態）の上に浮かび上がる〈形式 ((Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×) をもった像(幻想)〉である。 　同様に，〈位形式を伴う系〉としての位の系は，(Ｎ,((Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×),＋) と同型な系 (Ｓ,((Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),■),■) のことであり，存在論的には，素材（事態）の上に浮かび上がる〈形式 (Ｎ,((Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×),＋) をもった像(幻想)〉である。 　　　　　　　　　　■�｢数の系�｢■ 　 ＋ 　　 　　 × 　　 　 　　 Ｎ ■�｢ (Ｎ,＋) ■�｢ (Ｎ,＋,×) 　　　 ■──── 量形式 ──�｢■ ■──── 位形式 ──■────■ 　　　　　　　　　　�､　　　　　 　　　　　　�､　　　�､　　　　　 　　　　　　�､■　　�､■　　　　 　　　　　　↓　　　�､　　　　　 　　　　　　　　　　�､　　　　　 ■──── 位の系 ──■────■ 　　　　　　　　　　↓　　　　　 　　　 ■──── 量の系 ──�｢■ 　 ■ 　　 　　 ■ 　　 　 　　 Ｓ ■�｢ (Ｑ,＋) ■�｢ (Ｎ,＋,×) 　(併進)　　 　 (倍)　　 　 　　 9.4.3 数の使用 　量連関では，“数の使用”とは形式 ((Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),■) ないし (Ｓ,((Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),■),■) の現出のことである。そしてこのときの数は，量に対する倍作用素であり，量の係数である。 　量の系 ((Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),■) に組み込まれているＮの要素の身分を言い表わすのに，“スカラ”を用いることにする■)。 （註） 数の系Ｎが体のとき，量の系 ((Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),■) は線型空間になる。一般に線型空間 ((Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),■) ではＱとＮの要素を身分づけるのに，それぞれ“ベクトル”，“スカラ”の名が用いられる。そこでこの用語を流用し，量の系 ((Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),■) の中のＮの要素の身分を言い表わすのに“スカラ”を用いることにする 　なお，数のこの身分を表わすのに“割合”の語の使われることがあるが，ここでは使わない。“倍＝同種量の割合”に対する“異種量の割合”の発想（“比例関係”の主題になるもの）が伝統的にあるからである。 9.5 数の系，量の系の実現 　数/量の系は，構成法の明示という形で，かつこの形でのみ，実現される。外延としてのそれは，構成法の生成するところのものとして想念される。実際，外延としての数/量の系は超越的概念であり，想念される他ない。あるいは，構成規則の適用のデモンストレーション（具体的にいくつかの要素をつくってみせる）によって示唆されるのみである。 量の自存的定立ないし量の類型論の阻却 　ここで示した考え方は，《数に対応して量が定まる》というものである。反照的に，わたしはつぎのタイプの量理論を阻却する： (1) 量の自存的定立 (2) 量の類型論 　量を自存的に定立しようとする試み■1)を阻却する理由は，《量の系からの数の系の導出》をこの定立に後続させるか，あるいは《量の系と数の系の連結》を後続させるかするときに，量の系自身が過剰な存在になってしまうからである。即ち，数の系だけで足りてしまい，量の系は存在として空回りする。 　量の類型論を阻却する理由は，つぎのようになる。先ず，量の類型論には量概念の定立が先行していなければならない■2)が，この定立は上に述べたように無効である。そしてまた，《数に対応して量が定まる》としたときには，量の類型論は端的に解消してしまう。 （註１） 例えば，[前田隆一,19 ],[田村二郎,1978b]。 （註２） つぎの類型論（[遠山啓,1960,p.104])には，量概念の定立が先行していない： 　　　　分離量　　　　　　　　　　 　 　■ 　　　　　　　　　　　　　 　 ■　 　　　　　　　　　　　　　 量　　　　　　　　　外延量　　　　 　 ■　 　　　 　■ 　　　　　　　 　 　■ 　　　 ■　 　　　　　　　 　　　　連続量　　　　　　　　　度 　　　　　　　 ■　 　　　 　■ 　 　　　　　　　 　■ 　　　 ■　 　 　　　　　　　　　　内包量　　　　 　　　　　　　　　　　　　 ■　 　 　　　　　　　　　　　　　 　■ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　率 また，“外延量・内包量”の概念化には，根底的な錯誤がある。 “数”教材のスカラ度 　以上の考察から，わたしは，〈論理計算〉──“代替”の構造の理解に立つ論理計算──に即く数指導を，数を明示的にスカラとして取り上げる指導と同一視する(§9.4.3)。 　数がスカラとして（■のつき”として）明示される度合──スカラ度(■のつき"度）──を指標として“数”教材の位置付けを考えるとき，わたしがここで目指そうとする数指導は，スカラ度100％の数指導である： 　　　現行　　　　　　　　 試行　 　　　 ↓ 　　　　　　　　 ↓ 　 　■────────────■ 　 0％　　　　　　　　　　　　100％ （註） “量一元論”としてスカラ度０％を指向する立場がある： “分数の指導体系は二元論になっている････加減法は，どうしても量でないとできないから，ここは量からはいる。ところが乗法のときは，「の」つきの分数でやる。････一元論にするためには，量としていれるべき････”（[遠山,1958,p.39]） 10 “数”の主題領域 　算数科における“数”の主題領域は，暗黙的なものも明示すれば，資料１のようになる。 11 “分数”指導の実践研究 　〈論理計算〉──■代替”の構造の理解に立つ論理計算──の指導の試行例として，“分数”の指導カリキュラム案と指導案を示す。 11.1 “分数”の指導カリキュラム案 　“分数”の指導カリキュラム略案を，資料２のように立てる。 11.2 “分数”の指導案 　“分数”の指導略案を，資料３に示す。