7.1 わり算の立式(1)
(1) 問題
つぎの問題を考えよう：
Ａ「りんごを３皿それぞれに同じ個数おくとき，6個では一皿何個？」
Ｂ「りんごを一皿に３個ずつおくとき，6個では何皿？」
さて，明らかに異なる印象がもたれるこの二つの問題に対して，式「6÷3」がひとしく立てられる。それはどうしてか。
「それはどうしてか」の問いに対し，はたして教師のどれだけが「形」が主題であると意識し，なおかつはかばかしい答えを出せるだろうか。問われているのは「わかる」である。
おそらく大部分の教師は，この主題を「わかっていない」とは思っていない。「できる」が「わかっていない」を隠蔽してしまうのだ。
(2) 問題から形を抽出
この問題でのキータームは「皿」である。これの意義は何か。
答えは，新しい「個」の導入である。すなわち皿におかれたりんご全体を改めて「個」と見るということである。
二つの問題はそれぞれつぎの問題に還元される：
Ａ「何個を新しく個とすれば，もとの個で６個は新しい個で３個か」
Ｂ「３個を新しく個とすれば，もとの個で６個は新しい個でいくつか」
言えばややこしいが，図示するとつぎのようになる：
？ ３
(個) ─→ ＜個＞ ─→ ６(個)
３ ？
(個) ─→ ＜個＞ ─→ ６(個)
ただし，もとの個を (個) で表し，新しい個を ＜個＞ で表している。
このときさらに，６(個) を新しい [個] にすれば，
？ ３
（個）─→＜個＞─→［個］
│ ↑
└─────────┘
６
３ ？
（個）─→＜個＞─→［個］
│ ↑
└─────────┘
６
これが，最初の二つの問題Ａ，Ｂの形である。同じく「６÷３」が立式されるが，問題の形は異なる。そして「問題の形は異なる」の説明になるのが，この図式である。
(3) 式を導出
ここで，記号「×」の用法として
ｍ ｎ
（個）─→＜個＞─→［個］
│ ↑
└─────────┘
ｍ×ｎ
が既習になっていれば，上の二つの問題はさらにつぎの問題に還元される：
？×３＝６
３×？＝６
そして記号「÷」の導入が
“「ｍとかけてｎになる数」という（長い）言い回しを
「ｎ÷ｍ」のように（短く）言い直す”
であることを知っていれば，この二つの式の両方からひとしく
“？は６÷３”
が結論される。