- 関数 f (のグラフ) がなめらか（＝局所的には「限りなく直線」）であるとき，その直線をどのような式の直線と定めたらよいでしょうか。
- 先ず，「なめらか」を示す直線は場所によって違うわけですから，「なめらか」を「点Ｐにおいてなめらか」という言い方で限定しましょう。
- 「点Ｐにおいてなめらか」を示す直線 (以下，Ｌとします) は，点Ｐを通ります。
（なぜなら，点Ｐを通らない直線は，点Ｐに目を近づけるにしたがい視野の外に出てしまいますから，Ｌにはなれません。）
- つぎに，関数 f のＰでの変化率（ｘの変化に対するf(x)の変化の割合）が，Ｌの傾きになります。
（なぜなら，傾きが f のＰでの変化率と等しくない直線は，Ｌと交差する直線の外観を呈しますから，Ｌにはなれません。）
- 点Ｐでのｘの変化Δに対するf(x)の変化の割合は，一般にΔの取り方によって違ってきます。そこで，関数 f のＰ(a, f(a)) での変化率を，つぎのように (平均変化の極限として) 定義します：
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