- 「曲線」は，実数の区間から空間（ｎ次元ユークリッド空間）の中への連続写像として定義されます。
特に，平面上の曲線とは，実数の区間から平面（２次元ユークリッド空間）の中への連続写像のことです。
| 両端が閉じた曲線
| 区間 [0,1] → 空間
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一端が閉じて
もう一端が開いた
曲線
| 区間 [0,1[ → 空間
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| 両端が開いた曲線
| 区間 ]0,1[ → 空間
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- この定義のアイデアは，曲線を運動の軌跡として表現するということです。
- 鉛筆で曲線を描いている場面を想像して下さい。鉛筆の運動が曲線となって現れます。t ∈ [0, 1] は，時間 (time) をイメージしています。0 が開始時間，1 が終了時間です。
- つぎの二つの曲線は，像は同じですが，異なるものです：
- 「曲線」のこの定義は，わたしたちが常識的に理解している「曲線」の形式化ですが，このように定義された曲線のうちには，わたしたちの常識を超える（外れる）ものも入ってきます。
- 例：ペアノ曲線
これは，正方形の中に「ぎっしり詰まっている」（言い換えると，「外目には正方形のように見える」）曲線です。