| Up | テンソル場とは何か | 作成: 2017-12-13 更新: 2017-12-13 |
具体的にということで，現象を地球の自然現象にする。 温度とか，風とか，重力とか，磁気とか。 地球に現象「Ｘ」が観察されるとき，「地球はＸ場である」ということにしよう。 「地球の現象」と言うとき，これには「場所に依って現れが違う」が含蓄されている。 地球の現象Ｘの記述は，場所ごとの観測データの記述である。 しかしこの捉えは，すぐに拙いものであることが判る。 同じ地点でも，観測データは時間によって違ってくるからである。 この場合，「時間を固定する」はよいアイデアではない。 データの「同時」を考えることは実際問題として無理であるし，そもそも理論的に不自由である。 そこで，「場」を地球で考えるのではなく，地球と時間を合わせた地球時空で考える。 地球３次元，時間１次元ということで，４次元で考えるわけである。 別にフィクションをやろうというのではない。 現象は＜いつ・どこで＞で考えるものであり，そして＜いつ・どこで＞の記述枠は４次元座標になるのである。 (1) スカラー場 単位を定めて温度を測る。 値は，スカラーが一個である。 これは「温度は１次元ベクトル」ということである。 しかしここは敢えて，「温度はスカラー」と言うことにする。 そして，「地球時空は，温度スカラー場である」と言い表す。 地球時空の点ごとに温度が違うとは，スカラー値が違ってくるということである。 (2) ベクトル場 風は，ベクトルである。 これを記述するには，風の向きと大きさを測る「基底」を定める。 この値は，スカラーが３個のベクトルになる。 このことを，「地球時空は，風ベクトル場である」と言い表す。 地球時空の点ごとに風が違うとは，ベクトルの項の値が違ってくるということである。 同様に，地球時空は重力ベクトル場，磁気ベクトル場である。 (3) マトリックス (行列) 場 いま仮に (まったくの嘘であるが)，重力と風が「原因─結果」の関係にあるとする。 重力と風は，基底を定めて数ベクトルに表現される。 ここで，風の数ベクトルは，重力の数ベクトルに行列を掛けて計算できるとする。 この行列を，例えば「重力風」と呼ぼう。 このとき，「地球時空は，重力風マトリックス場である」と言い表す。 地球時空の点ごとに重力風が違うとは，行列の項の値が違ってくるということである。 (4) テンソル場 現実は，「原因─結果」が複雑である。 そこで，「原因─結果」の複雑さ加減を，できるだけ忠実に記述することを考える。 ただしあまり複雑にすると手に負えないので，原因を何種類かのベクトルの組とし，結果を何種類かのベクトルの組とする。 そして，原因のベクトル群から結果のベクトル群を導き出す計算式があり，＜行列を何回も掛けたり足したり＞がこれの中身になるとする。 この試みが，ある現象──仮に「なんじゃもんじゃ」と呼んでおく──の記述において成功したとしよう。 このとき，「地球時空は，＜なんじゃもんじゃ＞テンソル場である」と言い表す。 何で「テンソル」かというと，＜行列を何回も掛けたり足したり＞が中身の計算式は，物理学や工学の謂う「テンソル」だからである。 地球時空の点ごとに＜なんじゃもんじゃ＞が違うとは，計算式の中の定数の値が違ってくるということである。 以上，(1), (2), (3), (4) と段階を踏んできたが，(1), (2), (3) は (4) に包摂されるものである。 つまり，全部一括りに「テンソル場」と言える。 またここでは，イメージの簡単のために「地球時空」を使っただけであり，「テンソル場」は一般時空の内容になるものである。 ここで考えるべきは，《「テンソル場」はどんな世界観を提示したのか》である。 「テンソル場」の概念は，世界を，「各点に＜温度＞が立っている」という具合に「各点に＜計算式＞が立っている」と見させるのである。 特に，＜いま・ここ＞の温度，風，重力，磁気，その他もろもろは，ひとが「温度」「風」「重力」「磁気」「その他もろもろ」と捉えたものであり，その捉えは＜計算式＞の捉えだ，ということになる。 「テンソル場」の概念は，アインシュタインが一般相対性理論で提示したものである。 一般相対性理論に触れた者は，少なからず新たな世界観を得ることになる。 その世界観が，「各点に＜計算式＞が立っている」である。 |