Up 「テンソルは量の公式」とは 作成: 2018-02-26
更新: 2018-02-26

    ここまで，中身を説明せずに，「テンソルは量の公式」と言ってきた。
    この意味を，簡単に述べておく。

    長方形の面積の公式「タテ×ヨコ」を考えてみる。
    これは量の公式であり，タテ，ヨコは量である。
    量は，線型空間になる──そして量だと，１次元線型空間。

    この「量×量」の「タテ×ヨコ」を数学化すると，テンソル積「タテ\(\otimes\) ヨコ」になる。
    これが，「テンソルは量の公式」という意味である。

    しかしこれでほんとうに，「テンソルは量の公式」ということになっているのか？
    確認する。

    タテ２cm，ヨコ３cm の長方形の面積を求める。
    このとき「タテ×ヨコ」を適用するわけである。
    「２cm×３cm」は，タテ\(\otimes\) ヨコ の要素 \( 2 {\bf cm} \otimes 3 {\bf cm}\) として，\(\otimes\) の文法に順う：
      \[ 2 {\bf cm} \otimes 3 {\bf cm} = ( 2 \times 3 )\, ( {\bf cm} \otimes {\bf cm} ) \]
    \( {\bf cm} \otimes {\bf cm} \) には「cm2」が対応しており，「( 2 × 3 ) cm2」を得る。
    \(\otimes\) の文法に順うことが「公式」の適用になっているわけである。


    つぎに，速さの公式「距離÷時間」を考えてみる。
    「タテ×ヨコ」と違って，「量÷量」の式になっている。
    しかし，数の割り算が除数を逆数に替えて掛け算になるように，「距離÷時間」は，時間の双対「時間*」というものをとることで，「時間*\(\otimes\)距離」になる。

    ２秒で６ｍ の速さを求める。
    このとき「距離÷時間」を適用するわけであるが，この適用は，時間*\(\otimes\)距離 の要素 \( (2 {秒})^* \otimes 6 {\bf m}\) を \(\otimes\) の文法に順わせることである：
      \[ (2 {秒})^* \otimes 6 {\bf m} = 2^{-1} {秒}^* \otimes 6 {\bf m} = ( 2^{-1} \times 6 )\, ( {秒}^* \otimes {\bf m} ) \]
    \( {秒}^* \otimes {\bf m} \) には「ｍ/秒」が対応しており，「(６÷２ ) ｍ/秒」を得る。

    「タテ×ヨコ」「距離÷時間」は，二量が構成する公式である。
    では，３つ以上の量で構成される公式は，どう考えることで「テンソル」になるか。

    テンソル積 \( U \otimes V\) は，それ自体一個の線型空間である。
    よって，テンソル積はつぎのようにいくらでもつなげることができる：
      \[ V_1 \otimes V_2 \otimes V_3 \otimes \cdots \otimes V_n \]
    そして，３つ以上の量で構成される公式は，このようにつないだテンソル積に写すことができる。


    かくして，「テンソルは量の公式」となるわけである。