3.2 順序構造を伴う数の系


　学校数学では，複素数（ないし四元数）を除いて，数の系に対しては順序構造を導入することになる。この順序構造を伴う数の系は，以下のように定式化される。

　数の系 (Ｎ,＋,×) とこれの上の全順序関係≦に対し，Ｎ+を，
  1. Ｎが＋に関して群であるときはＮの正元（≧０の元）全体，
  2. そうでないときはＮ自身
とし，Ｎ*+＝Ｎ*∩Ｎ+とする（この記号法は本論文全体を通じて用いる)。

　系 (Ｎ,＋,×,≦) において以下の条件が満たされるとき，これを順序構造を伴う数の系と呼ぶ：
  1. ζ∈Ｎ*+に対し
    ξ＜ξ＋ζ
    また，＋が群算法のとき，ζ＜０に対し
    ξ＋ζ＜ξ
  2. ξ,η∈Ｎ+,ζ∈Ｎ*+に対し，
    ξ＜η ξ×ζ＜η×ζ

　順序構造を伴う数の系においては，以下のことが成り立つ：
  1. ＋が群算法のとき，
    ξ＜０ −ξ＞０(註1)

  2. ξ≦η ξ＋ζ≦η＋ζ
    あるいは，同じこととして(註2)，
    ξ＜η ξ＋ζ＜η＋ζ(註3)

  3. ξ＜ηであるためには，ξ＋ζ＝ηとなるζ∈Ｎ*+の存在することが必要十分(註4)．

  4. １∈Ｎ*+(註5)

  5. ×が群算法のとき，
    ξ∈Ｎ+* ξ-1∈Ｎ+*(註6)

  6. Ｎ+，Ｎ*+は，×に関して閉じている──即ち，ξ,ηがＮ+［Ｎ*+］の要素ならばξ×ηもＮ+［Ｎ*+］の要素(註7)．

  7. ζ∈Ｎ*+に対し，
    ξ＜η ξ×ζ＜η×ζ(註8)

　順序構造を伴う数の系は，＋に関して群であれば，定義から，順序群である。この場合，Ｎ+に対し，Ｎ-で負元（≦０の元）全体の集合（＝{−ξ｜ξ∈Ｎ+}）を表わすことにする。

　さらに，順序構造を伴う数の系は，体であれば順序体である。


（註１） ξ＜０のとき，−ξ＞(−ξ)＋ξ＝０。また，−ξ＞０のとき，ξ＜ξ＋(−ξ)＝０。

（註２） ξ≦ηからξ＋ζ≦η＋ζが導かれるとき，ξ＜ηからもξ＋ζ≦η＋ζが導かれる。ξ＋ζ＝η＋ζからは（数の系の定義より）ξ＝ηが導かれるから，結局，ξ＜ηからはξ＋ζ＜η＋ζが導かれる。
　逆に，ξ＜ηからξ＋ζ＜η＋ζが導かれるとき，明らかにξ≦ηからξ＋ζ≦η＋ζが導かれる。

（註３） ξ＜ηとする。
　(1) ξ＋ρ＝ηのとき：先ずρ∈Ｎ*。
　(1-1) ρＮ+なら，＋は群算法でρ＜０，よって−ρ∈Ｎ+。そしてこのとき，ξ＝ξ＋η＋(−η)＝ξ＋η＋((−ξ)＋(−ρ))＝η＋(−ρ)＞ηとなり，仮定に反する。よってρ∈Ｎ+。
　(1-2) ρ∈Ｎ+なら，ξ＋ζ＜ξ＋ζ＋ρ＝η＋ζ。
　(2) ξ＝η＋ρのとき：先ずρ∈Ｎ*。ρ∈Ｎ+とすると，ξ＝η＋ρ＞ηとなり，仮定に反する。よって，ρＮ+。そしてこのときには＋が群算法でρ＜０，さらに−ρ∈Ｎ+。そしてこのとき，ξ＋ζ＜ξ＋ζ＋(−ρ)＝(η＋ρ)＋ζ＋(−ρ)＝η＋ζ。

（註４） (1) ξ＜ηとする。
　(1-1) ξ＋ζ＝ηとする。このとき，先ずζ∈Ｎ*。もしζＮ+なら，＋は群算法でζ＜０，さらにη＝ξ＋ζ＜ξとなり，仮定に反する。よってζ∈Ｎ+。
　(1-2) ξ＝η＋ζとする。このとき，先ずζ∈Ｎ*。もしζ∈Ｎ+なら，η＜η＋ζ＝ξとなり仮定に反する。よってζＮ+。そしてこのとき＋は群算法でζ＜０，よって−ζ∈Ｎ+。しかも，ξ＋(−ζ)＝(η＋ζ)＋(−ζ)＝η。
　(2) ξ＋ζ＝ηかつζ∈Ｎ*+のとき，ξ＜ξ＋ζ＝η。

（註５） もし１Ｎ*+なら，＋は群算法で１＜０。よって−１＞０。しかしこのとき，−１＝１×(−１)＜０×(−１)＝０となり，不合理。

（註６） ξ∈Ｎ*+とする。もしξ-1Ｎ*+ならば，＋は群算法でξ-1＜０。しかしこのとき，１＝ξ-1×ξ＜０×ξ＝０となり，不合理。

（註７） Ｎ+≠Ｎのとき＋は群算法。そしてこのとき，０＜ξかつη＞０からは，０＝０×η＜ξ×ηが導かれる。

（註８） Ｎ+≠Ｎのとき＋は群算法。このとき，ξ＜ηかつζ＞０とする。η＋(−ξ)＞ξ＋(−ξ)＝０が導かれる。Ｎ*+は×に関して閉じているから，η×ζ＋(−(ξ×ζ))＝η×ζ＋(−ξ)×ζ＝(η＋(−ξ))×ζ＞０。さらに，η×ζ＝η×ζ＋(−(ξ×ζ))＋ξ×ζ＞０＋ξ×ζ＝ξ×ζ。