4.1.7.1 （Ｎ,＋,×,≦）からの（NR,＋,×,≦）の導出
順序構造を伴う数の系 (Ｎ,＋,×,≦) からは，NR が順序構造を伴う数の系 (NR,＋,×,≦) として，つぎのように導出される。
ｘ,ｙ∈NR に対し，
ｘ＝ｓ/ｒ，ｙ＝ｔ/ｒ
となるｒ,ｓ,ｔ∈Ｎが存在する。このとき，ｘ≦ｙ をｓ≦ｔで定義する。── ｘ,ｙを上のように表現したときの条件ｓ≦ｔは，ｒ,ｓ,ｔの取り方に依存していない(註)から，この定義は意味をもつ。そして，この≦はNR の上の全順序関係になる。
さらに，この≦に関して系 (NR,＋,×,≦) が順序構造を伴う数の系になる。
また，NRは≦に関して稠密である。
（註） ｘ＝s/r＝s'/r'，ｙ＝t/r＝t'/r'のとき，(ｓ×ｔ′)×(ｒ×ｒ′)＝(ｓ×ｒ′)×(ｔ′×ｒ)＝(ｒ×ｓ′)×(ｔ×ｒ′)＝(ｓ′×ｔ)×(ｒ×ｒ′)，よってｓ×ｔ′＝ｓ′×ｔ。したがって，ｓ≦ｔとｓ′≦ｔ′は同値。