5.2.3.4 順序構造


　自然数の間の先後関係として，順序関係≦がつぎのように定義される。

　ｘ，ｙ∈の間の関係 succ(ｘ)＝ｙ（“ｘのつぎはｙ"）を，

ｘ→ｙ

で表わす。さらに，ｘ，ｙ∈に対し，
  1. ｘ1，ｘ2，････，ｘn∈で
    ｘ＝ｘ1→ｘ2→ ････ →ｘn＝ｙ
    となるものが存在することを
    ｘ＜ｙ
    で表わす。

  2. ｘ＝ｙかｘ＜ｙであることを，
    ｘ≦ｙ
    で表わす。

　即ち，≦は“先後関係”である。そしてこれは，の上の順序関係──実際，全順序関係（線型順序関係）──になる。さらに，は≦に関して整列集合になる。

　こうして，自然数＝系列には，順序関係が定義されることになり，またこの意味で，順序構造が与えられることになる。