Up 複素数の表記 (２タイプ)  

(もう少し厳密な (そのかわり，わかりにくい) 説明は，→ こちら)

    正負の数に対応する量は
      正逆２方向の向きと大きさをもつ量
    でしたが，これは
      直線上方向自由な向きと大きさをもつ量
    と見ることができます。(「自由」と言っても，正か逆かの自由しかありませんが。）

    この「直線上方向自由な向きと大きさをもつ量」の考えを延長すると，「平面上方向自由な向きと大きさをもつ量」(高校数学に出てくる「平面上のベクトル」) になります：

    平面上方向自由な向きと大きさをもつ量の比 (倍関係) は，つぎの２つの情報の組で表せます：
    1. 向きの変換に関する情報： どれだけの回転になっているか (角度)。
    2. 大きさの変換に関する情報： 大きさの比を既知の数で表す。

    すなわち，つぎのようになります：


(数学では，時計回りがマイナスで，逆がプラス)

    これが「複素数」のしくみです。
    ──「正負の数」のしくみの単純な拡張であることを，確認してください。


    しかし，複素数をこのように説明すると，「高校で習った複素数はこんなんじゃない。高校では a + bｉみたいに習った。」のことばが返ってきそうです。
    表現「a + bｉ」のしくみを，説明しましょう。

    ここに (θ, d) と表現されている比があります：

    左辺のベクトルをもとに ｘｙ座標を作成し，この座標の中に右辺のベクトルをおきます：


( y軸の正方向は「ｘ軸の +90゜回転」のルールで決められる)

    そしてこのときの a, b を使って，「ａ+ｂｉ」を (θ, d) の別表現とします。


    練習として，具体的な例でやってみましょう：

    左辺のベクトルをもとに ｘｙ座標を作成し，この座標の中に右辺のベクトルをおきます：

    このときのａ, ｂは，それぞれ 2 と 2√3 です。よって，(+60゜, 4) は 2 + 2√3 i。


    高校で複素数を習ったひとは，実はこの２つの表現とその換算法も学習しています。 （しかしほとんどのひとは，これの意味を知らないで/意識しないで過ごしてきています。）
    複素数ｚの二つの表現ａ + bｉと (θ, ｄ) に対し，ｚの偏角と呼ばれ arg(ｚ) と表記されたのがθで，ｚの絶対値と呼ばれ |ｚ| と表記されたのがｄです。
    そして以下が，換算法です：