| Up | 計算の省略部分 | 作成: 2007-10-22 更新: 2007-10-25 |
(以下，簡単のため，cos(ξ/2), sin(ξ/2) をそれぞれ cξ, sξ と表記します) このとき
これが
＝ cθ cτ ー (q・r) sθ sτ ＝ cθ cτ ー | q | | r | cosψ sθ sτ (ψは，q と r のなす角度) ＝ cθ cτ ー cosψ sθ sτ tx sω ＝ qx sθ cτ ＋ rx cθ sτ ー qy rz sθ sτ ＋ qz ry sθ sτ ty sω ＝ qy sθ cτ ＋ ry cθ sτ ー qz rx sθ sτ ＋ qx rz sθ sτ tz sω ＝ qz sθ cτ ＋ rz cθ sτ ー qx ry sθ sτ ＋ qy rx sθ sτ そこで，向き (tx, ty, tz) と回転角 ω が定義されるためには，つぎのことが成り立っていなければならない： 1 の証明：
＝ cθ cτ ー (q・r) sθ sτ (q と r のなす角度を ψとすると) ＝ cθ cτ ー | q | | r | cosψ sθ sτ ＝ cθ cτ ー cosψ sθ sτ ＝ (cθ) cτ ＋ (ー cosψ sθ) sτ ＝ ( cθ2 ＋ (cosψ)2 sθ2 )1/2 sτ＋α cθ2 ＋ (cosψ)2 sθ2 ≦ cθ2 ＋ sθ2 ＝ 1 なので，これの絶対値は ≦ 1 2 の証明：
＝ (qx sθ cτ ＋ rx cθ sτ ー qy rz sθ sτ ＋ qz ry sθ sτ )2 ＋ (qy sθ cτ ＋ ry cθ sτ ー qz rx sθ sτ ＋ qx rz sθ sτ )2 ＋ (qz sθ cτ ＋ rz cθ sτ ー qx ry sθ sτ ＋ qy rx sθ sτ )2 ＝ qx2 sθ2 cτ2 ＋ rx2 cθ2 sτ2 ＋ qy2 rz2 sθ2 sτ2 ＋ qz2 ry2 sθ2 sτ2 ＋ 2 qx rx cθ sθ cτ sτ ー 2 qx qy rz sθ sθ cτ sτ ＋ 2 qx qz ry sθ sθ cτ sτ ー 2 qy rx rz cθ sθ sτ sτ ＋ 2 qz rx ry cθ sθ sτ sτ ー 2 qy qz ry rz sθ sθ sτ sτ ＋ qy2 sθ2 cτ2 ＋ ry2 cθ2 sτ2 ＋ qz2 rx2 sθ2 sτ2 ＋ qx2 rz2 sθ2 sτ2 ＋ 2 qy ry cθ sθ cτ sτ ー 2 qy qz rx sθ sθ cτ sτ ＋ 2 qy qx rz sθ sθ cτ sτ ー 2 qz rx ry cθ sθ sτ sτ ＋ 2 qx rz ry cθ sθ sτ sτ ー 2 qz qx rz rx sθ sθ sτ sτ ＋ qz2 sθ2 cτ2 ＋ rz2 cθ2 sτ2 ＋ qx2 ry2 sθ2 sτ2 ＋ qy2 rx2 sθ2 sτ2 ＋ 2 qz rz cθ sθ cτ sτ ー 2 qz qx ry sθ sθ cτ sτ ＋ 2 qz qy rx sθ sθ cτ sτ ー 2 qx ry rz cθ sθ sτ sτ ＋ 2 qy rx rz cθ sθ sτ sτ ー 2 qx qy rx ry sθ sθ sτ sτ ＝ qx2 sθ2 cτ2 ＋ qy2 sθ2 cτ2 ＋ qz2 sθ2 cτ2 ＋ rx2 cθ2 sτ2 ＋ ry2 cθ2 sτ2 ＋ rz2 cθ2 sτ2 ＋ qx2 rz2 sθ2 sτ2 ＋ qy2 rx2 sθ2 sτ2 ＋ qz2 ry2 sθ2 sτ2 ＋ qx2 ry2 sθ2 sτ2 ＋ qy2 rz2 sθ2 sτ2 ＋ qz2 rx2 sθ2 sτ2 ー 2 qy qz ry rz sθ2 sτ2 ー 2 qz qx rz rx sθ2 sτ2 ー 2 qx qy rx ry sθ2 sτ2 ＋ 2 qx rx cθ sθ cτ sτ ＋ 2 qy ry cθ sθ cτ sτ ＋ 2 qz rz cθ sθ cτ sτ ＋ 2 qx qy rz sθ sθ cτ sτ ＋ 2 qy qz rx sθ sθ cτ sτ ＋ 2 qz qx ry sθ sθ cτ sτ ＋ 2 qx ry rz cθ sθ sτ sτ ＋ 2 qy rz rx cθ sθ sτ sτ ＋ 2 qz rx ry cθ sθ sτ sτ ー 2 qx qy rz sθ sθ cτ sτ ー 2 qy qz rx sθ sθ cτ sτ ー 2 qz qx ry sθ sθ cτ sτ ー 2 qx ry rz cθ sθ sτ sτ ー 2 qy rz rx cθ sθ sτ sτ ー 2 qz rx ry cθ sθ sτ sτ ＝ (qx2 ＋ qy2 ＋ qz2 ) sθ2 cτ2 ＋ (rx2 ＋ ry2 ＋ rz2 ) cθ2 sτ2 ＋ (qx2 (ry2 ＋ rz2) ＋ qy2 (rx2 ＋ rz2) ＋ qz2 (ry2 ＋ rx2) ) sθ2 sτ2 ー 2 ( qx qy rx ry ＋ qy qz ry rz ＋ qz qx rz rx ) sθ2 sτ2 ＋ 2 (qx rx ＋ qy ry ＋ qz rz ) cθ sθ cτ sτ ＝ sθ2 cτ2 ＋ cθ2 sτ2 ＋ (qx2 (1 ー rx2) ＋ qy2 (1 ー ry2) ＋ qz2 (1 ー rz2) ) sθ2 sτ2 ー 2 ( qx qy rx ry ＋ qy qz ry rz ＋ qz qx rz rx ) sθ2 sτ2 ＋ 2 (qx rx ＋ qy ry ＋ qz rz ) cθ sθ cτ sτ ＝ (1 ー cθ2) cτ2 ＋ cθ2 (1 ー cτ2) ＋ sθ2 sτ2 ー (qx2 rx2 ＋ qy2 ry2 ＋ qz2 rz2 ) sθ2 sτ2 ー 2 ( qx qy rx ry ＋ qy qz ry rz ＋ qz qx rz rx ) sθ2 sτ2 ＋ 2 (qx rx ＋ qy ry ＋ qz rz ) cθ sθ cτ sτ ＝ cθ2 ＋ cτ2 ー 2 cθ2 cτ2 ＋ (1 ー cθ2) (1 ー cτ2) ー ( qx2 rx2 ＋ qy2 ry2 ＋ qz2 rz2 ＋ 2 ( qx qy rx ry ＋ qy qz ry rz ＋ qz qx rz rx) ) sθ2 sτ2 ＋ 2 (qx rx ＋ qy ry ＋ qz rz ) cθ sθ cτ sτ ＝ 1 ー cθ2 cτ2 ー ( qx rx ＋ qy ry ＋ qz rz )2 sθ2 sτ2 ＋ 2 (qx rx ＋ qy ry ＋ qz rz ) cθ sθ cτ sτ ＝ 1 ー ( cθ cτ ー ( qx rx ＋ qy ry ＋ qz rz ) sθ sτ )2 ＝ 1 ー cω2 ＝ sω2 よって， tx2 ＋ ty2 ＋ tz2 ＝ 1 |