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はじめに

作成: 2008-12-09 更新: 2008-12-09

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本論考は，四元数が 自然数 → 分数 → 正負の数 → 複素数 という「数」の構築の流れの中にどのように位置づくかを，解説しようとするものです。 数は，「量の比」の表現に使われるべく，つくられます。 対象にしたい量が違えば，数も違ってきます。 食材が違えば包丁も違ってくるのと，同じです。 正負の数は，対象にしたい量が「正逆２方向の大きさ」であるときに導かれてきます。 「正逆２方向の大きさ」は，「直線上方向自由な移動」が数学的モデルになります。 このモデルを「次元を増やす」方向に延長すると，「平面上方向自由な移動」が出てきます。 そして，「平面上方向自由な移動」を量にしようとするとき，対応する数として複素数が導かれてきます。 この延長をさらに進めると，つぎが主題になります： 「３次元空間内方向自由な移動」を量としたときの， 　これに対応する数を導く。 これに数学者ハミルトンが取り組みました。 そして，つぎのことを得ました： 「３次元空間内方向自由な移動」を量とする数は，つくれない。 「４次元空間内方向自由な移動」を量とする数は，つくれる。 「４次元空間内方向自由な移動」を量とする数として導いたのが，「四元数」です。 ３次元空間内方向自由な移動は，４次元空間内方向自由な移動に埋め込めます。 そしてこの状態で，四元数を適用できるものになります。 これが，四元数の実際応用性の構造です。 四元数を知識としてもっていることは，数学教育的にも意味があります。 数学教育論として「数」を論じているものの多くは，自然数で「数」を考えています。 よって，没論理をやってしまい，しかし自分ではそのことに気づきません。 このとき，「数」の意味を 自然数 → 分数 → 正負の数 → 複素数 → 四元数 の流れで押さえるようにすると，嫌でも没論理は自己訂正されていきます。