3.1 “数の系”


　われわれは，“数の系”の条件を考えるより先に，“数”と呼ばれているもの──自然数，分数（正の有理数），整数，有理数，正の実数，実数，複素数，四元数といったもの──を既にもってしまっている。したがって，“数の系”の条件づけは,〈既にもっている数の系を“数の系”として合理化し得る条件〉の作為──後追い的作為──になる。

　“数の系”の範疇を拡げるほど，“数の系”の条件は弱まる。例えば，複素数を考えることで，順序関係は“数の系”の条件でなくなる。また，四元数を考えることで，乗法の可換性は“数の系”の条件でなくなる。

　一方，“数の系”の条件としてわれわれが求めるものは，数の使用──特に，量処理における数使用──の根拠となるようなものである。

　以上のことを考慮して，われわれは“数の系”を，集合Ｎとその上の二つの内算法＋，×でなる系 (Ｎ,＋,×) で，つぎの条件を満たすものと定義する：
  1. ＋は結合的かつ可換．

  2. ×は結合的で，単位元１∈Ｎ*が存在する．

  3. ＋と×の間に左右分配法則が成り立つ(註1)：

    ξ×(η＋ζ)＝ξ×η＋ξ×ζ
    (η＋ζ)×ξ＝η×ξ＋ζ×ξ

  4. 各要素は，＋に関して可約；即ち，

    ξ＋η＝ξ＋ζ η＝ζ

  5. Ｎ*の各要素は，×に関して左右可約；即ち，ξ∈Ｎ* に対し，

    ξ×η＝ξ×ζ η＝ζ
    η×ξ＝ζ×ξ η＝ζ

  6. 任意の要素ξ，ηに対し，要素ζで，ξ＋ζ＝ηかξ＝η＋ζとなるものが存在する．

ここでＮ*は，Ｎが零元０── ＋に関する中立元──をもつときはＮ＼{０} (註2)，そうでないときはＮ自身（この記号法は本論文全体を通じて用いる)。

　単位元１の存在と条件(4),(5) は，“数使用”の観点から要請される。（Ｎ,＋) (註3)が群のとき，(4) はこれに含意される。また（Ｎ*,×）が群のとき，(5) はこれに含意される。また，×が可換のとき，(3) の条件式は第一式のみでよい。

　なお，要素ξに対しξ＋ξ＝ξが成り立つとき，ξは零元である(註4)。


（註１） “加法",“乗法”の呼称ないし＋，×の記号の使い分けは，形式的には，専ら分配法則に拠っている。即ち，
(ｘ＊ｙ)＃ｚ＝ｘ＃ｚ＊ｙ＃ｚ
の関係にある＊の方が加法と呼ばれ（かつ＋と記され），＃が乗法と呼ばれる（かつ×と記される）のである。

（註２） 一般に，集合Ｘとその部分集合Ｙに対し，Ｙに属さないＸの要素全体の集合をＸ＼Ｙで表わす。

（註３） 数の系の構造は，＋，×で定義される代数的構造，順序関係≦で定義される順序構造，また位相構造，の組合せで，色々に考えられる。どのような構造を考えているかを，ここでは (Ｎ,＋)，(Ｎ,≦)，(Ｎ,＋,≦）のような表記によって示すことにする。

（註４） 任意の要素ηに対し，ξ＋η＝(ξ＋ξ)＋η＝ξ＋(η＋ξ)。＋の可約性より，η＝η＋ξ。