4.1.5 NRの中へのＮの埋め込み
算数科では，分数と自然数の使用場面を援用することで，分数に自然数を直接外挿する。しかしこれは本来，“NRの中へのＮの埋め込み”のように主題化されねばならない主題である。
NR が量の係数の系と意味づけられているとき，“量のｎ回の累加”を量に対するｎ∈Ｎの倍作用と考えれば，ｎ∈Ｎに関するｎ倍とｎ/１倍は同値である。このことを見て，“NR の中へのＮの埋め込み”をつぎのような形で導入する。
写像ｉ：Ｎ─→NR を
| ｉ(n)＝ |  | （n∈Ｎ）
|
で定義するとき,ｉは１対１で，
ｉ(m＋n)＝ｉ(m)＋ｉ(n)
ｉ(m×n)＝ｉ(m)×ｉ(n)
が成り立つ。そこでこのｉによって，(Ｎ,＋,×）を（NR,＋,×）の部分（ｉ(Ｎ),＋,×）と同一視できることになる。言い換えると,ｉによって，(Ｎ,＋,×）は（NR,＋,×）に埋め込まれる。またこの意味で，NRはＮの拡張である。
n ∈Ｎの表記を,ｉ(n)∈NR の表記に流用する。
このとき，１∈ＮはNR の単位元。また，n∈Ｎに対し
| n＝ |
|
であり，かつ 1/n が×に関する n の逆元 n-1 になる。