4.2.6 数の系としてのND


　ND の要素に対しては，これを“倍”と読んだ上で，和と積(合成)を日常的に考えている。この二つの概念はつぎのように定式化される。

　ｍ,ｎ,ｐ∈Ｎに対し，

(＋ｍ)＋(＋ｎ)＝＋(ｍ＋ｎ)
(−ｍ)＋(−ｎ)＝−(ｍ＋ｎ)
(＋ｍ)＋(−ｎ)＝(−ｎ)＋(＋ｍ) ＝ ＋ｐ（ｍ＝ｎ＋ｐのとき）
−ｐ（ｍ＋ｐ＝ｎのとき）
０ （ｍ＝ｎのとき）

と定義する。これは，ｒ,ｓ,ｔ∈Ｎに対し

(ｒ−ｓ)＋(ｔ−ｒ)＝ｔ−ｓ

と定義するのと同じである(註1)；あるいは，ｍ,ｎ,ｐ,ｑ∈Ｎに対し

(ｎ−ｍ)＋(ｑ−ｐ)＝(ｎ＋ｑ)−(ｍ＋ｐ)

と定義するのと同じである(註2)。

　さらに，ｍ,ｎ,ｐ∈Ｎに対し，

(＋ｍ)×(＋ｎ)＝(−ｍ)×(−ｎ)＝＋(ｍ×ｎ)
(＋ｍ)×(−ｎ)＝(−ｎ)×(＋ｍ)＝−(ｍ×ｎ)

と定義する。これは

(ｎ−ｍ)×(ｑ−ｐ)＝(ｍ×ｐ＋ｎ×ｑ)−(ｍ×ｑ＋ｎ×ｐ)

と定義するのと同じである(註3)。

　ND は，この＋，×に関して“数の系”になる。

　さらに，ND は加法＋に関して可換群となる。実際，０が加法＋の零元になり，また，＋ｋ＝ｎ−ｍと−ｋ＝ｍ−ｎが互いに他の対称元（＋に関する逆元）になる。

　ｘ∈ND に対し，ｘの対称元を−ｘと書くとき，以下が成り立つ(註4)：
  1. (−ｘ)＋(−ｙ)＝−(ｘ＋ｙ）
  2. (−ｘ)×ｙ＝ｘ×(−ｙ)＝−(ｘ×ｙ）
  3. (−ｘ)×(−ｙ)＝ｘ×ｙ


（註１） (1) 先ず，この定義がｒ,ｓ,ｔの取り方に依存していないことを示す。ｘ＝ｒ−ｓ＝ｒ′−ｓ′,ｙ＝ｔ−ｒ＝ｔ′−ｒ′のとき，(ｓ＋ｔ′)＋(ｒ＋ｒ′)＝(ｓ＋ｒ′)＋(ｒ＋ｔ′)＝(ｒ＋ｓ′)＋(ｔ＋ｒ′)＝(ｓ′＋ｔ)＋(ｒ＋ｒ′)，よって，ｓ＋ｔ′＝ｓ′＋ｔ。
　(2) さらに，このように定義される＋は可換である。実際，(ｔ−ｒ)＋(ｒ−ｓ)＝((ｓ＋ｔ)−(ｒ＋ｓ))＋((ｒ＋ｔ)−(ｓ＋ｔ))＝(ｒ＋ｔ)−(ｒ＋ｓ)＝ｔ−ｓ。
　(3) ＋が“(ｒ−ｓ)＋(ｔ−ｒ)＝ｔ−ｓ”で定義されるとき，
(3.1) ＋ｍ＝ｒ−ｓ,＋ｎ＝ｔ−ｒのとき，ｓ＋ｍ＋ｎ＝ｒ＋ｎ＝ｔで，ｔ−ｓ＝＋(ｍ＋ｎ)。
(3.2) −ｍ＝ｒ−ｓ,−ｎ＝ｔ−ｒのとき，ｓ＝ｒ＋ｍ＝ｔ＋ｍ＋ｎで，ｔ−ｓ＝−(ｍ＋ｎ)。
(3.3) ＋ｍ＝ｒ−ｓ,−ｎ＝ｔ−ｒのとき，
(3.3.1) ｍ＝ｎ＋ｐでは，ｓ＋ｐ＋ｎ＝ｓ＋ｍ＝ｒ＝ｔ＋ｎで，ｔ−ｓ＝＋ｐ。
(3.3.2) ｍ＋ｐ＝ｎでは，ｓ＋ｎ＝ｓ＋ｍ＋ｐ＝ｒ＋ｐ＝ｔ＋ｐ＋ｎで，ｔ−ｓ＝−ｐ。
(3.3.3) ｍ＝ｎでは，ｓ＋ｎ＝ｓ＋ｍ＝ｐ＝ｔ＋ｎで，ｔ−ｓ＝０。
(4) ＋が最初の形で定義されるときに
(ｒ−ｓ)＋(ｔ−ｒ)＝ｔ−ｓ
が成り立つことは，つぎのように場合分けして示すことになる：

ｒ＋ｎ＝ｔｒ＝ｔ＋ｎ
ｒ＝ｓ＋ｍ(1)(2)
ｒ＋ｍ＝ｓ(3)(4)

ここでは，(3) の場合だけを示しておく。
　先ず，ｒ−ｓ＝−ｍ，ｔ−ｒ＝＋ｎ，ｓ＋ｎ＝ｒ＋ｍ＋ｎ＝ｔ＋ｍ。そこで，
(4.1) ｍ＝ｎ＋ｐのとき，ｓ＝ｔ＋ｐで，(−ｍ)＋(＋ｎ)＝−ｐ＝ｔ−ｓ。
(4.2) ｍ＋ｐ＝ｎのとき，ｓ＋ｐ＝ｔで，(−ｍ)＋(＋ｎ)＝＋ｐ＝ｔ−ｓ。
(4.3) ｍ＝ｎのとき，ｓ＝ｔで，(−ｍ)＋(＋ｎ)＝０＝ｔ−ｓ。

（註２） (1) 一般に (ｒ−ｓ)＋(ｔ−ｒ)＝ｔ−ｓ のとき，(ｎ−ｍ)＋(ｑ−ｐ)＝((ｎ＋ｐ)−(ｍ＋ｐ))＋((ｎ＋ｑ)−(ｎ＋ｐ))＝(ｎ＋ｑ)−(ｍ＋ｐ)。
(2) 逆に，(ｎ−ｍ)＋(ｑ−ｐ)＝(ｎ＋ｑ)−(ｍ＋ｐ) のとき，(ｒ−ｓ)＋(ｔ−ｒ)＝(ｒ＋ｔ)−(ｓ＋ｒ)＝ｔ−ｓ。

（註３） 証明は,（註１）の証明に準じる。

（註４） (1) ((−ｘ)＋(−ｙ))＋(ｘ＋ｙ)＝((−ｘ)＋ｘ)＋((−ｙ)＋ｙ)＝０＋０＝０。
(2) ((−ｘ)×ｙ))＋(ｘ×ｙ)＝((−ｘ)＋ｘ)×ｙ＝０×ｙ＝０。（ｘ×(−ｙ))＋(ｘ×ｙ)＝ｘ×((−ｙ)＋ｙ)＝ｘ×ｙ＝０。
(3) (2)より，(−ｘ)×(−ｙ)＝−((−ｘ)×ｙ)＝−(−(ｘ×ｙ))＝ｘ×ｙ。