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表現行列を用いた計算

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　（D,K)，(D',K）を同一係数体上の線型空間とし，f:D─→D'を線型写像とします。
　いま，線型空間（D,K)，(D',K）のそれぞれに，基底 （u1,････,um), （v1,････,vn） を導入します。そしてこれに対するfの表現行列を

とします。このとき，Dの要素

x＝u1_×ξ1＋ ････ ＋um_×ξm

に対し，

f(x)	＝　f(u1)×ξ1＋ ････ ＋f(um)×ξm ＝　v1×(ξ1×α11＋ ････ ＋ξm×αm1） 　＋ ････ 　＋vn×(ξ1×α1n＋ ････ ＋ξm×αmn)

したがってf(x)が，xを表わす行ベクトルにfの表現行列を右から作用させる計算(§4.2.2)によって，求められることになります。
　つぎに，(D",K）をもう一つの線型空間として，fと線型写像ｇ:D'─→D"の合成を考える。
　線型空間（D",K）に，基底（w1,････,ｗp）を導入します。基底（v1,････,vn),（w1,････,ｗp）に対するｇの表現行列を

とするとき，

ｇ(f(ui))

＝　ｇ(v1)×αi1＋ ････ ＋ｇ(vn)×αin ＝　(w1×β11＋ ････ ＋wp×β1p)×αi1 　＋ ････ 　＋(w1×βn1＋ ････ ＋wp×βnp)×αin ＝　w1×(αi1×β11＋ ････ ＋αin×βn1) 　＋ ････ 　＋wp×(αi1×β1p＋ ････ ＋αin×βnp)

そこでfとｇの合成の表現行列を

とおくと，

γik＝αi1×β1k＋ ････ ＋αin×βnk　　(i＝1,････,m；k＝1,････,p）

よって線型写像の合成が，表現行列の積(§4.2.2)で計算できることになります。