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線型写像の行列表現
（
u
1
,････,
u
m
）,（
v
1
,････,
v
n
）がそれぞれ線型空間（
D
,
K
),(
D
',
K
）の基底であるとき，線型写像
f
:
D
─→
D
'は
f
(
u
i
) （i＝1,････,m）
で決まってしまいます
(註)
。そこでさらに
f
(
u
i
) ＝
v
1
×
α
i1
＋ ････ ＋
v
n
×
α
in
（i＝1,････,m）
のように表わすと，係数
α
ij
（i＝1,･･･,m；j＝1,･･･,n）
が
f
を決定するものになります。わたしたちは係数α
ij
の組を行列
の形に書いて，これを
f
の表現──“表現行列”──として用いています。
“線型写像”が“比例関数”の概念の拡張であるのに対応して,“表現行列”は,“比例定数”の概念の拡張です。 実際,“１次元実線型空間から１次元実線型空間への線型写像”である“比例関数”の表現行列は（1×1)行列になりますが，これの(唯一の)要素が“比例定数”です。
(註)
実際，
D
の元は
u
1
×
ξ
1
＋ ････ ＋
u
m
×
ξ
m
の形に書けて，さらに線型写像の条件から
f
(
u
1
×
ξ
1
＋ ････ ＋
u
m
×
ξ
m
) ＝
f
(
u
1
)
×
ξ
1
＋ ････ ＋
f
(
u
m
)
×
ξ
m
。
