Up 「接ベクトル空間」の考え方 作成: 2018-01-16
更新: 2018-01-17

    球面では，各点 \(ｘ\) に対し，つぎの条件を満たす平面 \(P(x)\) が存在し，且つただ一つ存在する：
      \(ｘ\) を通る任意の曲線は，\(ｘ\) におけるこれの接線が \(P(x)\) に含まれる
    \(P(x)\) は, 「\(ｘ\) における接平面」と呼ばれる。

    これに倣って，多様体 \(M\) の「接線」「接平面」──但し，言い方を「方向ベクトル」「接ベクトル空間」に替える──を定める。
    直接翻訳すれば，つぎのようになる：
      \(C\) を \(ｘ\) を通る曲線全体に亘らせたときの，\(C\) の \(ｘ\) における方向ベクトル全体は，ベクトル空間になる。
      これを \(T(x)\) で表し, 「\(M\) の \(ｘ\) における接ベクトル空間」と呼ぶ。


    「\(ｘ\) における方向ベクトル」を定める場所は，\( M \) ではなく，地図帳の中の \(ｘ\) が現れる地図になる。
    そして，\(ｘ\) が現れる地図は複数ある。
    「\(ｘ\) における方向ベクトル」は，地図に依存するものになる。

    しかし，「\(ｘ\) における方向ベクトル」は，地図に依存するが，互いに無関係なわけではない。
    二つの地図 \(\phi,\, \psi\) それぞれの上の「\(ｘ\) における方向ベクトル」全体は，\( C^r\) 級座標変換 \( \psi \circ \phi^{-1}\), \(\phi \circ \psi^{-1} \) の上で同型に対応する。
    よって，「方向ベクトル」は，一つの地図の上で考えればよい。

    そしてこのときつぎのようになる：
      \(C\) を \(ｘ\) を通る曲線全体に亘らせたときの，\(C\) の \(ｘ\) における方向ベクトル全体は，\( M \) を \(n\) 次元として，\( \mathbb{R}^n \) の部分ベクトル空間になる。
    これを \(T(x)\) で表し, 「\(M\) の \(ｘ\) における接ベクトル空間」と呼ぶ。