「多様体」の話は，地図の話である。 これは，場所場所で地図を好き勝手につくるという話ではない。 地図は，同じ規準でつくられる。 場所場所で正確につくるのである。 しかし，地図は中心から離れたところが実際に対して歪んでくる。 この歪みを計量的に理解しようというのが，「多様体」の話である。 実際，「歪み」は，「＜同じ規準＞でつくったものの間の相対性」として考えられるものである。 場所場所で好き勝手に地図をつくっていたら，「歪み──相対性」の論にはならない。 多様体でつくる地図は，同じ規準でつくるものである。 その規準は，端的に，「正規直交座標」である。 実際，「歪み──相対性」をこれから主題化しようというとき，なぜ＜規準＞をわざわざ弛める必要があるか。 「歪み──相対性」を導出できるためには，地図作成の規準は厳格でなければならない。 リーマン多様体は，多様体である。 そしてリーマン多様体は，つぎの条件を以て多様体の特殊である：
そして，\(\phi_P \) の内容は， \(P\) の変化に対してなめらかに変化する。 
\( M\) の接ベクトル空間の次元 \(n\) に対し，\(\phi_P \subset \mathbb{R}^n\) である。 《どの点も自身の近傍地図をもつ》は，《地図は接いで使う》を含蓄する。 そして《地図は接いで使う》は，《地図は小さい──大きいのは無駄》を含蓄する。 リーマン多様体 \( M\) の地図帳は，そんな地図を束ねたものである。 この「地図帳」は，超越論的な存在になる。 実際，「リーマン多様体」は，超越論である。 |