リーマン多様体の地図 \(\phi_P\) は，つぎの二つを合わせて使う：
- \( P \) から観える世界を写した地図
- 別の地図の読み込み
a は，直線座標──正規直交座標 (デカルト座標) ──に順う。
b は，結果的に，曲線座標になる。
地図 \(\phi_P\) を地図 \(\phi_P'\) から読み込む：
読み込まれた \(\phi_P\) のデカルト座標が曲線座標になる：
| (1) |
デカルト座標の基底を，
\[
{\bf E} = \{ {\bf E}_1,\, \cdots,\, {\bf E}_n \}
\]
とする。
この基底に対する座標系を，\(X^i\) 座標系と称する。
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| (2) |
曲線座標 (上図の赤色のメッシュ) を，\(x^i\) 座標系と呼ぶ。
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| (3) |
曲線座標の基底──局所直線基底──を，
\[
{\bf e} = \{ {\bf e}_1,\, \cdots,\, {\bf e}_n \}
\]
で表し，基底 \({\bf E}\) に対する各 \( {\bf e}_i \) の座標を
\[
( e_i^1,\, \cdots,\, e_i^n )
\]
とする──即ち，
\[
{\bf e}_i = e_i^{\ 1}\, {\bf E}_1 + \cdots + e_i^{\ n}\, {\bf E}_n \quad ( i = 1, \cdots, n )
\]
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リーマン多様体で主題になる「座標変換」は，以上の基底の間の座標変換であり，これに限る。
「リーマン多様体/幾何学」のテクストには，きまって極座標，球面座標，円筒座標の類が出てくるが，これはつぎの二つが混在している状態である：
学習者は，これにも躓く。
「この幾何学的対象がリーマン多様体のモデルになるのは，どんな趣旨によってか」の説明が無くて導入されるからである。
テクストの書き手も，極座標等を勘違いして取り上げているふしがある。
局所直交座標と極座標の変換のようなのを「リーマン多様体の座標変換」にしているからである。
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