Up 共変微分からの曲率の導出 作成: 2018-01-12
更新: 2018-01-13

    「リーマン曲率」の導出では，点 \(P(\bf x)\) に立てたベクトル \( \bf A \) ── \(x^i\)座標 \(( a_1,\, \cdots,\, a_n )\) ──を，平行移動で経路 \[ P \rightarrow Q \rightarrow R \rightarrow S \rightarrow P \] を一巡させ，このときの座標の変化を計算した。

    そのとき出て来た式 \[ a_i(Q)\ =\ a_i(P)\ +\ \Gamma^{k}_{ij}(P)\ a_k(P)\ dx^j \\ a_i(R)\ =\ a_i(Q)\ +\ \Gamma^{m}_{in}(Q)\ a_m(Q)\ dy^n \] は，それぞれつぎの共変微分の式と対応する： \[ \nabla_j a_i(P)\ =\ \frac{\partial a_i(P)}{\partial x^j}\ +\ \Gamma^{k}_{ij}(P)\ a_k(P) \\ \nabla_k a_i(Q)\ =\ \frac{\partial a_i(Q)}{\partial x^j}\ +\ \Gamma^{m}_{in}(Q)\ a_m(Q) \] 第２式を，「\( \nabla_j \) に \( \nabla_j \) を合成」と見立てて, 「\( \nabla_k \nabla_j a_i\)」と表すことにする。


    経路 \( P \rightarrow Q \rightarrow R \rightarrow S \rightarrow P \) を平行移動したときの座標の変化は，\( P \rightarrow S \rightarrow R \) での \(a_i(R)\) の式を \(a'_i(R)\) としたときの，つぎの式になった：
      \[ a_i(R) - a'_i(R) \]
    そしてこの式の計算から導出されたつぎの式を，リーマン曲率と定義したわけである：
      \[ \Gamma^{m}_{in} \Gamma^{k}_{mj}\ +\ \frac{\partial \Gamma^{k}_{in}}{\partial x^j} \ -\ \Gamma^{m}_{ij} \Gamma^{k}_{mn}\ -\ \frac{\partial \Gamma^{k}_{ij}}{\partial x^n} \]

    式 \(a_i(R) - a'_i(R)\) には，つぎの式が対応する：
      \[ \nabla_k \nabla_j - \nabla_j \nabla_k a_i \]
    よって，この式もリーマン曲率の式を当然含蓄していることになる。
    以下，実際に計算してみる。
    　( EMANの物理学 (「リーマン曲率」) から拝借)：

    \[ \begin{align*} \nabla_k(\nabla_j a_i)\ &=\ \partial_k(\nabla_j a_i)\ -\ \Gamma^{m}_{jk}(\nabla_m a_i)\ -\ \Gamma^{m}_{ik}(\nabla_j a_m) \\[6pt] &=\ \partial_k( \partial_j a_i - \Gamma^{t}_{ij} a_t ) \\ &\ \ \ \ \ -\ \Gamma^{m}_{jk}( \partial_m a_i - \Gamma^{t}_{im} a_t ) \\ &\ \ \ \ \ -\ \Gamma^{m}_{ik}( \partial_j a_m - \Gamma^{t}_{mj} a_t ) \\[10pt] &=\ \partial_k \partial_j a_i\ -\ (\partial_k\Gamma^{t}_{ij}) a_t\ -\ \Gamma^{t}_{ij} (\partial_k a_t) \\ &\ \ \ \ \ -\ \Gamma^{m}_{jk} ( \partial_m a_i - \Gamma^{t}_{im} a_t ) \\ &\ \ \ \ \ -\ \Gamma^{m}_{ik} \partial_j a_m \ \ \ \ +\ \Gamma^{m}_{ik} \Gamma^{t}_{mj} a_t \\[10pt] &=\ \partial_k \partial_j a_i\ -\ (\partial_k\Gamma^{t}_{ij}) a_t \\ &\ \ \ \ \ -\ ( \Gamma^{t}_{ij} \partial_k a_t + \Gamma^{m}_{ik} \partial_j a_m ) \\ &\ \ \ \ \ -\ \Gamma^{m}_{jk} ( \partial_m a_i - \Gamma^{t}_{im} a_t ) \ \ \ \ +\ \Gamma^{m}_{ik} \Gamma^{t}_{mj} a_t \\[10pt] &=\ \partial_k \partial_j a_i\ -\ (\partial_k\Gamma^{t}_{ij}) a_t \\ & \ \ \ \ -\ ( \Gamma^{t}_{ij} \partial_k a_t + \Gamma^{t}_{ik} \partial_j a_t ) \\ & \ \ \ \ -\ \Gamma^{m}_{jk}( \partial_m a_i - \Gamma^{t}_{im} a_t ) \\ & \ \ \ \ +\ \Gamma^{m}_{ik} \Gamma^{t}_{mj} a_t \end{align*} \]
    \( \nabla_j \nabla_k a_i \) は　上式の \( j \) と \( k \) を入れ換えればよい： \[ \begin{align*} \nabla_j(\nabla_k a_i)\ &=\ \partial_j \partial_k a_i\ -\ (\partial_j\Gamma^{t}_{ik}) a_t \\ & \ \ \ \ -\ ( \Gamma^{t}_{ik} \partial_j a_t + \Gamma^{t}_{ij} \partial_k a_t ) \\ & \ \ \ \ -\ \Gamma^{m}_{kj}( \partial_m a_i - \Gamma^{t}_{im} a_t ) \\ & \ \ \ \ +\ \Gamma^{m}_{ij} \Gamma^{t}_{mk} a_t \end{align*} \] よって，
    \[ \nabla_k\nabla_j a_i - \nabla_j \nabla_k a_i\\ \ \ \ =\ \partial_j \Gamma^{t}_{ik} a_t \ -\ \partial_k \Gamma^{t}_{ij} a_t\ +\ \Gamma^{m}_{ik} \Gamma^{t}_{mj} a_t\ -\ \Gamma^{m}_{ij} \Gamma^{t}_{mk} a_t \\ \ \ \ =\ \left( \Gamma^{m}_{ik} \Gamma^{t}_{mj} + \partial_j \Gamma^{t}_{ik} - \partial_k \Gamma^{t}_{ij} - \Gamma^{m}_{ij} \Gamma^{t}_{mk} \right) a_t \]
    確かに，リーマン曲率の式が含まれている。


    なお，式「\(\nabla_k\nabla_j a_i - \nabla_j \nabla_k a_i\)」の簡約表記として，「\([ \nabla_k, \nabla_j ] a_i\)」を用いる：
      \[ \begin{align*} [ \nabla_k, \nabla_j ] a_i &=\ \nabla_k\nabla_j a_i - \nabla_j \nabla_k a_i \\ \end{align*} \]