さて，この記述は，どんな構造になっているのか。 以下のように考える。 多様体 \(M\) に対し，集合 \(E\) と関数 \( f : M \to E\) が立っている。 各地図 \(\phi\) に対し，つぎの図式を可換にする関数 \( F_{\phi} \) が存在する── 実際，\( F_{\phi} = f \circ \phi^{-1}\) がこれである： 
各 \( {\bf p} \in \phi \) には，\( F_{\phi}\) によって \(E\) の要素が対応している。 これは，\( \bf p\) の「\(f\) 情報」ということになる。 ここで，「場」のことばを，つぎのように導入する：
多様体 \(M\) の地図帳は， \(M\) の解析のために導入されているものである。 \(M\) の解析は，\(M\) に関する情報の解析である。 そして「\(M\) に関する情報」を，ここで述べた構造のものとして考えようというわけである。 |