Up 「量」の数学 作成: 2013-11-21
更新: 2013-11-21

    「比例」は，２量の間の関係である。 「比例」の数学は，「量」の数学がもとになる。
    そこで，「量」の数学の押さえを，先ず行う。
    但し，本論考に必要な分だけということで，できるだけ容易な押さえにする。

    いま，「量」として「長さ」を考える。
    「長さ」のことばは，日常的につぎの２通りに用いられている：
    1. １つの量カテゴリーとしての長さを指す (例:「長さと重さ」)
    2. 個々の長さを指す (例:「長さ２cm」)

    これに対し，「長さ」を数学にするときは，つぎの３つの「長さ」を区別することになる：
    1. 系としての長さ (「長さ(系)」)
    2. 集合としての長さ (「長さ(集合)」)
    3. 長さ(集合) の要素としての長さ (「長さ(要素)」)
    日常的用法のA，Bには，それぞれ長さ(系) と長さ(要素) が対応する。

    長さの計算には，長さ(要素) 同士の和と，長さ(要素) に対する数の倍(作用) がある。
    前者は算法として「加法」と呼ばれ，構造的に「内算法」である。
    対して，数の倍作用は「外算法」である。
    長さ(要素) のｑとｑ′　の和を「ｑ＋ｑ′」で，そして長さ(要素) ｑと数ｎに対するｑのｎ倍を「ｑ × ｎ」で，それぞれ表すことにする。

    ここで，「数」も，系，集合，要素の３つを区別することになる。
    例えば，長さを倍する数として正の実数を考えるときは，「正の実数」につぎの３つを区別することになる：
    1. 系としての正の実数 (「正の実数(系)」)
    2. 集合としての正の実数 (「正の実数(集合)」)
    3. 正の実数(集合) の要素としての正の実数 (「正の実数(要素)」)
    また，数では，２つの内算法「加法 (＋)」「乗法 (＋)」が考えられている。
    そして，つぎが数(系) である：
        ( 数(集合), ＋, × )

    最後に，つぎが長さ(系) である：
        ( ( 長さ(集合), ＋ ), ×, ( 数(集合), ＋, × ) )

    ここで，系の中に含まれる４つの算法がどのように関係するかを簡単に見るために，「２ｍの棒と３ｍの棒５本をつないだ長さの計算」を示す：
      「２ｍ」＋ (「３ｍ」× 5 )
      ＝ (「ｍ」× 2 ) ＋ ( (「ｍ」× 3 ) × 5 ) )
      ＝ (「ｍ」× 2 ) ＋ (「ｍ」× ( 3 × 5 ) )
      ＝「ｍ」× ( 2 ＋ ( 3 × 5 ) )
      ＝「ｍ」× 17
      ＝「17 ｍ」