本論考は，「数は量の比」(数学) と「数は量の抽象」(学校数学) の対比を行うものである。
読者は，両者の違いを端的に示すビジュアルなイメージを最初にもてれば，本論考がよみやすくなるだろう。
そこで，「鳥瞰図」の趣で，「積・商の立式」のロジックをここで示す。
ただし，ここで示すのは「数は量の比」の鳥瞰図である。
「数は量の抽象」の鳥瞰図を示すことは無理なので，読者は，いまは，自分がかつて学校で勉強させられた数が「数は量の抽象」なのだと思っていただければよい。
「数は量の比」の鳥瞰図を簡単に示せるのは，これが数学であるからだ。
数学 (一般に科学) は，「最終的な簡単に行き着く」を方法にする。
数学は，用語や修辞を削り，最終的な構造を実現する。
だから，数学になったものを鳥瞰図に示すことは簡単である。
「数は量の抽象」は，これとは事情が異なる。
これの「鳥瞰」は，一つの文化/邑の鳥瞰になる。これは，つくるのも難しいし，つくっても簡単な図にはならない。
さて，積・商が立式されるときの数学 (「数は量の比」) のロジックを，つぎの A, B, C の３タイプで見ていく。
- 「○ｇ (グラム) の△倍は何ｇ？」の問題で，「何」に対し「○ × △」が立式される論理
「○ｇを何倍したら△ｇ？」「何ｇを○倍したら△ｇ？」の問題で，「何」に対し「△ ÷ ○」が立式される論理
- 「隣り合う２辺が○ｍ (メートル) と△ｍの長方形の面積は何ｍ2？」の問題で，「何」に対し「○ × △」が立式される論理
「隣り合う２辺が○ｍと何ｍの長方形の面積が△ｍ2」の問題で，「何」に対し「△ ÷ ○」が立式される論理
- 「○ｍ/秒 (メートル毎秒) で△秒間移動したときの距離は何ｍ？」の問題で，「何」に対し「○ × △」が立式される論理
「○ｍ/秒で何秒間移動のとき距離が△ｍ？」「何ｍ/秒で○秒間移動のとき距離が△ｍ？」の問題で，「何」に対し「△ ÷ ○」が立式される論理
積・商の立式に至る推論で使われるのは，つぎのこと (だけ)：
- 「○単位」は,「単位の○倍」の簡略表記。
- 「×」の文法 :「(量ｑの○倍)の△倍」→「量ｑの(○ × △)倍」(変形規則)
- 「÷」の文法 :「○と掛けて△になる数」→「△ ÷ ○」(変形規則)
(「÷」は，積に交換法則が成り立つ数で定義される。)
- 長方形の一辺の長さを固定したとき，隣の一辺の長さと長方形の面積は比例する。
- 速さ(速度) の定義： 時間と距離の間の比例関係
見ての通り，学校で授業している内容 (「数は量の抽象」) とは似ても似かない：
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