Up | 量であるとは,量の普遍対象と同型であること | 作成: 2010-12-16 更新: 2010-12-16 |
ここで,( (Q, +), ×, (N, +, ×) ) が ( (N, +), ×, (N, +, ×) ) と同型であるとは,1対1対応 f:Q ─→ N でつぎの条件を満たすものが存在するということ:
(1) 先ず,Qの任意の要素qは,f(u) =1であるu ∈ Q に対し,q = u× n,n∈ N の形に一意的に表される。 ──これは,Qの要素が「uを単位にして測る」ことができ,そして「測定値はn」ということである。
f(q)=nとすると, f(q)=f(u)×n =f(u× n) fは1対1だから, q = u× n また, u× m =u× n とすると, m =f(u)×m =f(u× m) =f(u× n) =f(u)×n = n (1)' (N, ×) が左可約ならば,Qの任意の要素qに対し──ただし,(Q, +) に零元が存在するとき (すなわち (N, +) に零元が存在するとき) は,零元でないqに対し──つぎが成り立つ: q× m = q× n ならば,m=n
q =u× k とすると, k×m =(f(u) ×k) × m =f(u× k) × m =f(q) × m =f(q× m) =f(q× n) =f(q) × n =f(u× k) × n =(f(u) × k) × n =k×n (N, ×) が左可約だから,m=n (2) Qの要素の倍の倍は,数の積の計算になる: (q × m) × n = q × (m × n)
f((q × m) × n) =f(q × m) × n =(f(q) × m) × n =f(q) × (m× n) =f(q × (m× n) ) fは1対1だから, (q × m) × n = q × (m × n) (3) Qの要素の和は,数の和の計算になる: q × m + q × n = q × (m + n)
f(q × m + q × n) =f(q × m) + f(q × n) =f(q) × m + f(q) × n =f(q) × ( m + n) =f(q × ( m + n)) fは1対1だから, q × m + q × n = q × (m + n) |