「ペンキ塗り」型の「分数のかけ算」の授業は,つぎの流れになる:
- つぎの文章題から始める:
「塀にペンキを塗る。
1 dL で2/3 m2 塗れる。
4/5 dL では何 m2 塗れるか?」
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- この問題がつぎの問題に還元されることを,生徒に受け入れさせる:
- つぎの立式を,生徒に受け入れさせる:
- 面積が m2 の長方形 (特に,m四方の正方形) を表す図を描く。
- 「何 m2」としての「2/3 m2 の 4/5」を,つぎのように作図する:
- この図から,つぎの関係を読み取らせる:
(#) 「何 m2」=「m2 の (2 × 4)/(3 × 5)」
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- (*) と (#) から,つぎを結論する:
2/3 × 4/5 = (2 × 4)/(3 × 5)
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- つぎのことばにまとめる:
「分数のかけ算は,分子同士かけたものを分子にし,分母同士かけたものを分母にする。」
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以上の手順を<数学の推論>として採点するならば,つぎの2つが減点される:
- ステップ2 および 3 において,論証がない。
- ペンキ塗りの問題で得た式 (特殊) から,分数の求積公式 (一般) を結論する。
なお,ステップ2,3で抜かされている論証は,つぎのようになる:
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