Up 「因数分解」の操作の意味  

  • 「因数分解」の操作の意味は，つぎのようになります：

      多項式　
        →　整次（一つの文字について高い次数から低い次数へ式を整える）　
        →　因数分解
        1. 各次数において共通因数でくくる（全体の共通因数を見込む）
        2. 全体を共通因数でくくる
        3. 残りの部分を低い次数の多項式の積に分解
        4. 各因数 (多項式) を因数分解

    教科書ではこのことをちゃんと書いてませんので，「因数分解」の操作については生徒ばかりでなく教師も混乱しやすいでしょう。

  • 因数分解の例

    • x2+3x+2
        x2+3x+2 ：xに関して既に整次されている
        x2+3x+2 ：各次数で共通因数でくくる操作は不要
        x2+3x+2 ：全体を共通因数でくくる操作は不要
        (x+1)(x+2) ： (唯一の) 因数 x2+3x+2 を因数分解

    • ma+mb+mc
        方法１
        (a+b+c)m ：整次（mに関して）
        (a+b+c)m ：各次数で共通因数でくくる操作は不要
        (a+b+c)m ：全体を共通因数でくくる操作は不要
        (a+b+c)m ：各因数におぃて，因数分解は不要

        方法2
        ma+(mb+mc) ：整次（aに関して）
        ma+m(b+c) ：各次数で共通因数でくくる
        m(a+(b+c)) ：全体を共通因数でくくる
        m(a+(b+c)) ：各因数におぃて，因数分解は不要

    • 3x2+6xy
        方法１
        3x2+(6y)x ：整次（xに関して）
        3x2+(6y)x ：各次数で共通因数でくくる操作は不要
        3x(x+2y) ：全体を共通因数でくくる
        3x(x+2y) ：各因数におぃて，因数分解は不要

        方法2
        6xy+3x2 ：整次（yに関して）
        6xy+3x2 ：各次数で共通因数でくくる操作は不要
        3x(2y+x) ：全体を共通因数でくくる
        3x(2y+x) ：各因数におぃて，因数分解は不要

    • ax-2ay+3az
        方法１
        (x-2y+3z)a ：整次（aに関して）
        (x-2y+3z)a ：各次数で共通因数でくくる操作は不要
        (x-2y+3z)a ：全体を共通因数でくくる操作は不要
        (x-2y+3z)a ：各因数におぃて，因数分解は不要

        方法2
        ax+(-2ay+3az) ：整次（xに関して）
        ax+a(-2y+3z) ：各次数で共通因数でくくる
        a(x+(-2y+3z)) ：全体を共通因数でくくる操作は不要
        a(x+(-2y+3z)) ：各因数におぃて，因数分解は不要

    • 4x2+12xy+9y2
        4x2+12yx+9y2 ：整次（xに関して）
        4x2+12xy+9y2 ：各次数で共通因数でくくる操作は不要
        4x2+12xy+9y2 ：全体を共通因数でくくる操作は不要
        (2x+3y)(2x+3y) ： (唯一の) 因数 4x2+12xy+9y2 を因数分解


  • 「低い次数の多項式の積に分解」は単純にノウ・ハウの問題です。「試行錯誤でやるところなんだ」と指導して下さい。
    実際，自然数係数では式によってできたりできなかったりするわけですから。
    そしてこの試行錯誤の中に，「公式を使えるかどうかを試す」を含めるわけです。

  • ただし，上に示した操作は，論理であって，これを直接示されたら生徒は死にます＾＾
    理屈がこうだからといってその理屈を教えれるわけではありません。
    教科書のおうような書き方にも，教育的方便という理由があるのかも（？）

  • ただ，操作の筋道は単純ですので，将来のことを考えたら，きちんと指導した方がいいでしょう。
    エスケープは必ず報いとなって返ってきますから＾＾