Up アフィン写像  

    いま，つぎの問題を考えてみる：
    直線上を時速ａkm で移動している。 いま時刻がＴ時で，基準点からｂkm のところにいる。 これからｘ時間移動すると，基準点から何km のところにいるか？

    中学生なら，「何」を求めるのにつぎの式を立てる：
      ａｘ＋ｂ

    しかし，どうしてこの式になるのか？
    この立式の論理を，ここで確認する。


    このときの＜世界＞は，つぎのもので構成されている：
      N　数：( 数, ＋, × )
      V1　量としての時間：( (時間, ＋), ( 数, ＋, × ), × )
      V2　量としての距離：( (距離, ＋), ( 数, ＋, × ), × )
      f　比例関数「時速ａkm」：時間 → 距離
      A1　位としての時刻：( 時刻, ( (時間, ＋), ( 数, ＋, × ), × ), ＋ )
      A2　位としての直線上の位置：( 位置, ( (距離, ＋), ( 数, ＋, × ), × ), ＋ )
      F　関数「時刻がＴ時のとき基準点からｂkm，そして時速ａkm」
      　　　　　　　：時刻 → 位置

    これの数学は「線型空間・アフィン空間」で，つぎのように対応する：
      V1, V2　線型空間
      f　線型写像
      Ａ1, Ａ2　アフィン空間
      F　アフィン写像

    f とＦは，それぞれつぎのように条件付けられる関数である：

    f(ｖ × ｎ) ＝ f(ｖ) × ｎ



    Ｆ(Ｐ ＋ ｖ) ＝ Ｆ(Ｐ) ＋ f(ｖ)


    そして，以上のことを使って，つぎの計算になる：

      「Ｔ時からｘ時間後の位置」
      ＝Ｆ(Ｔ時 ＋ ｘ時間)
      ＝Ｆ(Ｔ時) ＋ f(ｘ時間)
      ＝Ｆ(Ｔ時) ＋ f(時間 × ｘ)
      ＝(基準点からｂkm) ＋ ( f(時間) × ｘ) )
      ＝(基準点 ＋ ( km × ｂ ) ) ＋ ( (km × ａ) × ｘ)
      ＝(基準点 ＋ ( km × ｂ ) ) ＋ ( km × (ａ×ｘ) )
      ＝基準点 ＋ ( ( km × ｂ ) ＋( km × (ａ×ｘ) ) )
      ＝基準点 ＋ ( km × ( ｂ ＋ (ａ×ｘ) ) )

    特に，「ｂ ＋ (ａ×ｘ)」──すなわち，「ａｘ＋ｂ」──が数計算ということになる。


    以上の推論は，すぐれて数学である。
    一方，問題に対して「ａｘ＋ｂ」を立式することは，この数学を知らない/理解できない小・中学生にもできる。 「わからなくてもできる」ということである。

      「できる」は，数学 (論理) に基づく必要はない。
      では，どうして「できる」のか？
      パターンのとらえと「このパターンに対してはこのようにする」をやっているのである。