つぎの問題を考える：
- 円周に，要素ｎ個をきっちり並べる。
- 配置の方法は，「Ｏからスタートして，ｋ跳びで要素を置いていく」。
- さらに，「ｋ跳びをｎ回やったとき，要素ｎ個の配置がちょうど成っている」が条件。
──特に，以上の要件より，Ｏの位置に＜ｎ回目＞がくる(註1)。
勝手に選んだｎ，ｋでは，こうはならない。
一方これが成り立つようなｎ，ｋは，格別なものでもない。
即ち，互いに素な２つの数であればよい(註2)。
フィボナッチ数列だと，Fn+2 と Fn が互いに素(註3)であるから，(5, 2), (8,3), (13, 5), (21, 8), (34, 13), (55, 21) ‥‥ の組で，成り立つ。
上図で，小さい数の側の角は，これの極限が黄金角であり，それ自身も黄金角と近い。
そこで，開始点Ｏから黄金角ｉ回転に対応する円周上の点に数ｉを置いていくとき，つぎのことが成り立つ：
- 各フィボナッチ数ｎ( ＝5, 8, 13, 21, 34, 55, ‥‥ ) に対し，黄金角のｎ回の回転で，円周にｎ個がほぼ等間隔に並ぶ。
- 開始点Ｏの付近に，フィボナッチ数が並ぶ(註4)。
- 異なる２数の位置は，重ならない(註5)。
| 註１ : |
ｎより小さいｉでｉ回目にＯの位置にきたときは，(ｉ＋１)回目が１回目と重なる。
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| 註２ : |
ｎより小さいｉ＜ｊで，ｋ跳びｉ回とｊ回が重なるとする。
即ち，ｋ×(ｊーｉ) ＝ｎ×ｐ となる整数ｐが存在するとする。
ｋとｎが互いに素であれば，ｋはｐの因子。
そしてこのときは ｊーｉ＞ｎになり，矛盾。
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| 註３ : |
Fn+2 ＝ Fn+1 ＋ Fn より，Fn+2 と Fn がｐを共通因子とするとき，Fn+1 もｐを因子にする。
これは，「５，２，３はｐを共通因子とする」に溯行し，矛盾。
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| 註４ : |
ちなみに，位置はつぎのようになる：
5 : 左 32.5゜
8 : 右 20.1゜
13 : 左 12.4゜
21 : 右 7.7゜
34 : 左 4.7゜
55 : 右 2.9゜
89 : 左 1.8゜
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| 註５ : |
重なるとは，黄金角のある整数倍が 360゜の整数倍になること。これは，黄金角と360゜の比 1/φ2 ＝ 1/(1+φ) が有理数だということ，特に φが有理数だということ。
一方，φの連分数表現が直接証明になるように，φは無理数。
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