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１次元平面単体複体の合同条件

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• 二つの１次元平面単体複体Ａ，Ｂは，つぎの条件を満たすとき合同です：
  
  
  Ａの頂点全体の集合とＢの頂点全体の集合の間の１対１対応 f で，つぎの条件を満たすものが存在する：
  
  
  1. Ａの頂点 P と Q が辺を張るとき，しかもそのときに限り f(P) と f(Q) も辺を張る
  2. Ａの頂点 P と Q が辺を張るとき，d(P, Q) = d(f(P), f(Q))
  3. Ａの頂点 P，Q，R において，P と Q が辺を張り，Q と R が辺を張るとき，∠PQR = ∠f(P)f(Q)f(R)

• 実際，この条件が満たされているとき，f はＡとＢの間の等長写像Ｆにつぎのような具合に拡張できます：
  
  
  Ａの頂点 P, Q と辺 PQ の上の点 X において v(P, X) = v(P, Q) _x t であるとき，v(f(P), Y) =v(f(P), f(Q)) _x t を満たす Y を，F(X) と定義する。

• 図形間の「点の対応」の問題が「頂点の対応」の問題に還元されてしまうのは，頂点の対応が辺および角の対応を決定してしまうからです。
  頂点のどの重ね合わせに対しても全体が重ならなければ，もともと全体は重ならない（合同でない）というわけです。