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正多面体

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• 正多面体は，正４，６，８，１２，２０面体の５種類に限られます。

• 理由：
  1. 正ｎ面体（面が正ｎ角形の多面体）があるとします。
     
     
  2. ここで，一つの頂点と，これにくっついている面を考えます。
     
     
  3. 面（正ｎ角形）の一つの内角の大きさは，((１８０×(ｎ−２)) ÷ｎ) 度。
     
     
     なぜなら，面（正ｎ角形）の内角全体の和は，(１８０×(ｎ−２)) 度。（ 理由はここに）
     したがっって，一つの角の大きさは，((１８０×(ｎ−２)) ÷ｎ) 度。
     
     
  4. 一つの頂点とくっついている面の数をｋとしましょう。
     
     
  5. ｋ個の内角の和は３６０度より小さい。（頂点でとんがっているから！）
     
     
  6. 式で書くと，
     
     
     ((１８０×(ｎ−２)) ÷ｎ) ×ｋ ＜ ３６０
     
     
  7. これを変形していくと，(ｎ−２) × (ｋ−２) ＜４　になります。
     
     
     　 ((１８０× (ｎ−２)) ÷ｎ) ×ｋ ＜ ３６０
     → ((１８０× (ｎ−２)) ×ｋ) ÷ｎ ＜ ３６０
     → ((１８０× (ｎ−２)) ×ｋ ＜ ３６０×ｎ
     → １８０× (ｎ−２) ×ｋ ＜ ３６０×ｎ
     → (ｎ−２) ×ｋ ＜ ２×ｎ
     → ｎ×ｋ−２×ｋ ＜ ２×ｎ
     → ｎ×ｋ−２×ｋ−２×ｎ ＜ ０
     → ｎ×ｋ−２×ｋ−２×ｎ ＜ ０
     → ｎ×ｋ−２×ｋ−２×ｎ ＜ ０
     → (ｎ−２) × (ｋ−２) −４ ＜ ０
     → (ｎ−２) × (ｋ−２) ＜４
     
     
  8. ｎ−２とｋ−２は，ともに正の数。
     そして，正の数２つをかけて４より小さいとすると，この２つの正数は，つぎのどれか：
     
     
     １と１，１と２，１と３
     
     
  9. したがって，ｎ−２とｋ−２はつぎの組み合わせになります：
     
     

     ｎ−２	１	１	１	２	３
     ｋ−２	１	２	３	１	１

     
     
  10. さらにこれから：
      
      

      ｎ	３	３	３	４	５
      ｋ	３	４	５	３	３

      
      言いかえると，
      
      

      各面の形	正３角形	正３角形	正３角形	正４角形	正５角形
      １つの頂点で くっつく面の数	３	４	５	３	３

      
      
  11. つまり，正多面体は，あっても５つまでということになります。
      
      
  12. しかも，何と！この５つの場合が全部，実際に正多面体になります：
      
      

      各面の形	正３角形	正３角形	正３角形	正４角形	正５角形
      １つの頂点で くっつく面の数	３	４	５	３	３
      実　現	正４面体	正８面体	正20面体	正６面体	正12面体