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線型空間 → 基底・次元 → 基底変換 → 行列 (基底変換の表現)

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「線型空間」で，＜存在＞ (「ベクトル」) をおこす。 線型空間は，ベクトルの作用素 (「スカラ」) の系が，構成ユニットになる。 スカラの系として念頭にあるものは，実数体 である。 この内容は，算数科の「量と測定」領域の 量の対象化 量に対する数の倍作用 の話と対応させると，わかりやすい。 実際，算数科の「量と測定」は，つぎの意味で，「線型空間」の簡単版になる： 《量は，２量の比の表現になる数が有理数/実数であるとき， 　　有理数体/実数体上の１次元線型空間と同じ。》 つぎに，＜存在＞ (「ベクトル」) の表現論に進む。 ここで，「基底」が導入される。 ベクトルが，基底を構成するベクトルの一次結合で一意的に表現される。 この内容は，算数科の「量と測定」領域の 「単位」の導入 量が「単位の何倍」の形に一意的に表現される (量の測定) の話と対応させると，わかりやすい。 「基底変換」は，「＜存在＞ (「ベクトル」) の表現の相対性──基底依存性」を主題化するものである。 算数科の「量と測定」でこれに対応するものは， 単位を替えることで，数値が変わる である。 基底変換によってベクトルの表現がどう変化するかは，計算で求まる。 この計算における数値の所動規則を観て，「基底変換の表現行列」「新基底に対するベクトル表現を行列計算」の概念を導く。 算数科の「量と測定」でこれに対応するものは， 単位換算規則を表す式における定数 新単位に対する量の数値を計算 である。