Up 線型写像の表現が,「行列」に  


    「線型写像」はつぎのように定義される:
      線型空間Eに対する関数f: E → F が線型写像であるとは,つぎの条件を満たすこと:
        f( q × n ) = f( q ) × n
        f( q ) = f( q ) f( )

    線型写像fは,基底 {1, 2} の行き先f(1), f(2) で決まってしまう。
    実際,1 ×1 2 ×2 に対し,
        f() = f( 1 ×1 2 ×2 )
        = f( 1 ×1 ) f( 2 ×2 )
        = f( 1 ) ×1 f( 2 ) ×2



    ここで,Fの基底 {1, 2} に対し
        f(1) = 1 ×11 2 ×12
        f(2) = 1 ×21 2 ×22
    として,上の計算をさらに進めると,つぎのようになる:
        = ( 1 ×11 2 ×12 ) ×1
        + ( 1 ×21 2 ×22 ) ×2
        = ( ( 1 ×11 ) ×1 ( 2 ×12 ) ×1 )
        ( (1 ×21 ) ×2 ( 2 ×22 ) ×2 )
        = ( 1 × ( a11 × n1 ) 2 × ( a12 × n1 ) )
        ( 1 × ( a21 × n2 ) 2 × ( a22 × n2 ) )
        1 × ( n1 × a11 + n2 × a21 )
        2 × ( n1 × a12 + n2 × a22 )

    fが a11, a12, a21, a22 の4つの数で決まることがわかったので,「Eの基底 {1, 2} とFの基底 {1, 2} に対する線型写像fの表現」としてつぎの記号法を導入する (「行列」の登場!):