Up | 「テンソル」の数学 :「テンソル積」 | 作成: 2018-01-23 更新: 2018-02-25 |
計算形式のあるものが「テンソル」と呼ばれてきたという経緯が,先ずある。 数学は,「テンソル」を数学的に定式化して,「テンソル」の数学をつくる。 この定式化は,「テンソル」と呼ばれてきたもの全体を収納するものとはなっていない。 即ち,「テンソル」と呼ばれてきたものには,この定式化からはじかれるものがある。 例えば,「テンソル」といえば必ず主題になる「計量テンソル」は,この定式化から外れる。 数学の「テンソル」は,簡単にいうと,記号「\(\otimes\)」の文法──「テンソル積」──である。 その数学がどんなものかを,はじめに見ておく。 つぎのように措く:
つぎは,集合 \(U \times V\) 上の同値関係になる:
また,\( ({\bf x},\,{\bf y})\) が代表元になる同値類を,「\({\bf x} \otimes {\bf y}\)」で表す。
\(U \bigotimes V\) は,体 \(K\) 上の線型空間になる。 そして,最後の仕上げが,つぎの図式を可換にする線型写像 \(\bar{\phi} \) である : ![]()
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\(\bar{\phi} \) は,「長方形の面積」の例だと,「公式 : タテ × ヨコ = 面積」と解釈されるものになる。 実際,「\(\bar{\phi} \) : タテ\(\otimes\)ヨコ \( \longrightarrow \) 面積」に対しては,このように読むのみである。 ここに,「計算公式」を身分とする数学的対象が得られたことになる。 そして「テンソル」がこのときの手法がであったことから,「計算公式」は「テンソル」と関係していることが予想される。 実際,「計算公式とはテンソルのことだ」が,結論として用意されているものである。 計算公式が「計算公式」である所以は,量計算式の場合だと「単位を変えても形式が保たれる」である。 そこで,一般に計算公式が「計算公式」である所以は,「座標を変えても形式が保たれる」である。 「座標を変えても形式が保たれる」がどうして要点になるのか? それは,「存在は表現に先立つ」の存在論に立つからである。 「公式」には,「存在」を直接指すものとして,表現に依らないことが求められる。 そして,「表現に依らない」の存在様式は,「形式」である。 |