Up 証明の例 作成: 2010-07-02
更新: 2010-07-02

    命題Ｐが真であることの証明は，つぎが成り立つ命題Ｑを示すことである：

    1. Ｑは真。
    2. ＱからＰが導かれる。

    特に，命題Ｐが偽 (¬Ｐが真) であることの証明は，つぎが成り立つ命題Ｑを示すことである：

    1. Ｑ は真。
    2. Ｑ から ¬Ｐが導かれる。

    ここでは，新しい命題Ｑをつくり出すことになる。
    Ｑは，Ｐから直接示唆されるものではない。 Ｑをつくり出すのは，証明しようとする者の創意である。

    以下，証明の例を示す。


    証明が起こる＜理論＞として，０を含む自然数論を考える。
    そして，つぎの８つの命題の真偽を証明する：

      Ｐ1：(∀ｘ) ( (∀ｙ) (ｘ＜ｙ) )
      Ｐ2：(∀ｙ) ( (∀ｘ) (ｘ＜ｙ) )
      Ｐ3：(∀ｘ) ( (∃ｙ) (ｘ＜ｙ) )
      Ｐ4：(∀ｙ) ( (∃ｘ) (ｘ＜ｙ) )
      Ｐ5：(∃ｘ) ( (∀ｙ) (ｘ＜ｙ) )
      Ｐ6：(∃ｙ) ( (∀ｘ) (ｘ＜ｙ) )
      Ｐ7：(∃ｘ) ( (∃ｙ) (ｘ＜ｙ) )
      Ｐ8：(∃ｙ) ( (∃ｘ) (ｘ＜ｙ) )

    最初にすることは，命題の真偽を見込むことである。
    そして，このためには，命題の意味を読み取れねばならない。

    上の８つの命題の意味は，それぞれつぎのようになる：

      Ｐ1：どの数でも，「自分はどの数よりも小さい」が成り立つ。
      Ｐ2：どの数でも，「自分はどの数よりも大きい」が成り立つ。
      Ｐ3：どの数でも，「自分より大きい数がある」が成り立つ。
      Ｐ4：どの数でも，「自分より小さい数がある」が成り立つ。
      Ｐ5：「自分はどの数よりも小さい」が成り立つ数がある。
      Ｐ6：「自分はどの数よりも大きい」が成りつ数がある。
      Ｐ7：「自分より大きい数がある」が成り立つ数がある。
      Ｐ8：「自分より小さい数がある」が成り立つ数がある。

    そして，その真偽はつぎのようになる：

      Ｐ1：偽
      Ｐ2：偽
      Ｐ3：真
      Ｐ4：偽
      Ｐ5：偽
      Ｐ6：偽
      Ｐ7：真
      Ｐ8：真

    なぜなら：

      Ｑ1：例えば０では，「自分はどの数よりも小さい」が成り立たたない。
      Ｑ2：例えば０では，「自分はどの数よりも大きい」が成り立たたない。
      Ｑ3：どの数でも，自分の後者は，自分より大きい数の一つである。
      Ｑ4：０では，「自分より小さい数がある」が成り立たたない。
      Ｑ5：どの数でも，「自分はどの数よりも小さい」が成り立たない。
      　　　例えば，自分は自分自身より小さくない。
      Ｑ6：どの数でも，「自分はどの数よりも大きい」が成り立たない。
      　　　例えば，自分は自分自身より大きくない。
      Ｑ7：例えば０では，「自分より大きい数がある」が成り立つ。
      　　　自分より大きい数として，例えば１がある。
      Ｑ8：例えば１では，「自分より小さい数がある」が成り立つ。
      　　　自分より小さい数として，例えば０がある。

    そして，つぎのように述べることが，証明になる：

      Ｑ1 は真，また Ｑ1 から ¬Ｐ1 が導かれる。よって，Ｐ1 は偽。
      Ｑ2 は真，また Ｑ2 から ¬Ｐ2 が導かれる。よって，Ｐ2 は偽。
      Ｑ3 は真，また Ｑ3 から Ｐ3 が導かれる。よって，Ｐ3 は真。
      Ｑ4 は真，また Ｑ4 から ¬Ｐ4 が導かれる。よって，Ｐ4 は偽。
      Ｑ5 は真，また Ｑ5 から ¬Ｐ5 が導かれる。よって，Ｐ5 は偽。
      Ｑ6 は真，また Ｑ6 から ¬Ｐ6 が導かれる。よって，Ｐ6 は偽。
      Ｑ7 は真，また Ｑ7 からＰ7 が導かれる。よって，Ｐ7 は真。
      Ｑ8 は真，また Ｑ8 からＰ8 が導かれる。よって，Ｐ8 は真。