「角度 (角の大きさ)」は，「回転の大きさ」のことばを使って定義されることになります。 この「回転の大きさ」を扱うためには，その前に「回転」の意味が定まっていなければなりません。 すなわち，何に対して何をすることを「回転」というのか？ということです。 ユークリッド空間の幾何学は，「回転」を，最終的につぎの形に還元します。
 Xの回転は，Ｌに「正の方向」を定めていることにより，「右回りどれだけ」「左回りどれだけ」で表現されます。 ここで「超平面」ということばが出てきました。 これについて簡単に説明します。 ３次元空間では，「空間」「平面」「直線」「点」があります。 ２次元空間だと，「平面」「直線」「点」になります。 この調子を４次元でもやると，「全空間」「空間」「平面」「直線」「点」の５つになります。 ５次元だと，「全空間」「４次元の空間」「空間」「平面」「直線」「点」の６つです。 この６つの表現に一貫性/連続性がないのは，３次元空間 (わたしたちが「リアルな空間」ということにしているもの) で使っている「空間」「平面」「直線」「点」のことばに縛られているからです。 そこで，「超平面」ということばを使うことにします。 すなわち，リアルな空間として３次元空間で使ってきた「空間」「平面」「直線」「点」を，それぞれ「３次元の超平面」「２次元の超平面」「１次元の超平面」「０次元の超平面」と呼ぶようにします。 上の「回転」の定義に戻ると，
Ｓが３次元 (「空間」) だったら，Ｐは「平面」 Ｓが４次元だったら，Ｐは「空間」 ここで，「アレ？！」と思いませんでしたか。 「平面Ｓでの，Ｏを回転の中心とする，Ｐ上の，Ｘの回転」とは，何でしょう？  これは，「Ｏを中心とするP上の対称点に移るか，そのままでいるか」の２通りの操作ということになります。 これが，「平面」における「回転」です。 このように言うと，つぎの反論がきっと出てくるでしょう：
 しかし，この絵を見ているあなたの眼は，どこにありますか？ ３次元空間の中にありますね。 上の回転を考えているときは，暗黙に３次元空間を使っています。 そして，Ｏを通って自分の眼Ｅに向かう有向直線を，暗黙に回転軸として使っているのです。
あなたは，右回り(反時計回り) を決められませんから，指示された操作をすることができません。
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