- 実数の導入は，論理的・存在論的に微妙なテーマです。
例えば，つぎのような論法は妥当でしょうか？
すべての比を表現する数を「実数」と呼ぼう。
正方形の１辺と対角線の長さの比が整数比 (分数/有理数) にならないように，この数には有理数でないものがある。それを「無理数」と呼ぼう。
この論法では，実数の存在は，量の比の存在に依存していることになります。また，「正方形の１辺と対角線の長さの比は整数比にならない」は「ユークリッドの定理 (３平方の定理)」に依存していますが ( √2)，この定理の証明は等積変形に依存しています。しかし，このときの「依存先の遡及」は，より確しからしいものへの収れんになっているのでしょうか？
- このようなやっかいな問題をやり過ごすために，数学はここでも「数の系の拡張」というやり方をとります。
その方法ですが，Cauchy 列を用いるものと，Dedekind 切断を用いるものがあります。
それぞれをきちん述べると「実数論」という大部の内容になりますから，ここではアイデアだけ簡単に示すことにします：
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