- 整数比 (分数) で表すことができない比 (倍関係) は，「非比的」の意味で「irrational」と呼ばれます。
翻って，整数比 (分数) で表せる比 (倍関係) は，「非比的＝irrational」に対立させて「比的＝rational」と呼ばれます。
ただし，「irrational」,「rational」の日本語訳は，それぞれ「無理」,「有理」です。「有理数・無理数」のことばは，ここから出ています。
- 無理数については，「代数的 (algebraic)」と「超越的 (transcendental)」の区分がされることも，知っておいてください。
「代数的」とは，ｎ次方程式
anxn
+ an-1xn-1
+ ‥‥
+ a1x
+ a0
= 0
の解になるものを言います。そして，「超越的」とは「代数的」でないことです。
- 学校数学に出てくる重要な数では，円周率π，ネピア数 (自然対数の底) ｅが超越数です。
- 正方形の辺と対角線の長さの比 x は，代数的無理数の √2 です。この証明の仕方を，ここで改めて確認しておくことにしましょう。
まず，ピタゴラスの定理 (三平方の定理) より，に対し x2 = 12 + 12 = 2 が成り立ちます。よって，x は √2 です。
さて，√2 が無理数でないとします──有理数 a/b (a, b は互いに素) であるとします。(a/b)2 = 2 より，a2 = 2 × b2。よって，a は偶数。そこで，a = 2 × c とおくと，(2 × c)2 = 2 × b2，2 × c2 = b2，よって b は偶数。これは,「a, b は互いに素」に矛盾。よって, (背理法により) √2 は無理数でなければなりません。
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「πは無理数」の証明