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量に対する数の作用 (「倍」) の規則

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確認： つぎのことをきまりにしています（意識せずに使っています）：


量ｘ，ｙと数 m，n に対し，

ｘ× m ＋ ｘ× n ＝ ｘ× (m ＋ n)
(ｘ× m) × n ＝ｘ× (m × n ）
(ｘ＋ｙ) × m ＝ ｘ× m ＋ ｙ× m	「線形性」

（量の加法の＋，数の加法と乗法の＋，×，倍作用の × を，それぞれ区別して下さい。）

この規則のうち最初の二つの成立は，はじめから予定されていることであって，何かから導き出された結果 (定理) というものではありません。実際，

この規則がなりたつように，数の加法と乗法がつくられた！
(定理ではなくて定義)

	→	この？を「ｍ＋ｎ」 と書くことにする	→
	→	この？を「ｍ×ｎ」 と書くことにする	→

３番目の規則の意味は，量に対しては「線形性」をそれの条件にしているということです。
実際，規則全体は，「線形空間」に類するような「空間」として「量」を規定するものになっています。