Ｎの＋と × の間に，左分配法則 ｎ × (ａ＋ｂ) ＝ ｎ × ａ ＋ ｎ × ｂ が成り立つ：
ａ，ｂ，ｎ∈Ｎ と Ｑの単位 ｕ に対し，
ｕ × (ｎ × (ａ＋ｂ))
＝ (ｕ × ｎ)
× (ａ＋ｂ)
＝ (ｕ × ｎ) × ａ
＋ (ｕ × ｎ) × ｂ
＝ ｕ × (ｎ × ａ)
＋ ｕ × (ｎ × ｂ)
＝ ｕ × ( ｎ × ａ ＋ ｎ × ｂ )
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これより，ｎ × (ａ＋ｂ) ＝ ｎ × ａ ＋ ｎ × ｂ
本論考の捉える「数の道具性」は，右分配法則 (ａ＋ｂ) ×ｎ ＝ ａ ×ｎ ＋ ｂ × ｎ を含意しない。
──すなわち，つぎの３段目から４段目への変形がこれの含意にならない：
ｕ × ((ａ＋ｂ) × ｎ)
＝ (ｕ × (ａ＋ｂ))
× ｎ
＝ (ｕ × ａ
＋ ｕ × ｂ )
× ｎ
＝ ((ｕ × ａ) × ｎ
＋ (ｕ × ｂ) × ｎ
＝ ｕ × (ａ × ｎ)
＋ ｕ × (ｂ × ｎ)
＝ ｕ × ( ａ × ｎ ＋ ｂ × ｎ )
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もっとも，現前の「数」である自然数，整数，有理数，実数，複素数，四元数，八元数，十六元数 (後述) は，四元数までが分配法則の成り立つものになっている。
また八元数 ，十六元数は，×が結合的でなく＜量をもたない数＞ということになるので，数の道具性の規定をさらにこの２つの数に引き寄せて調整するというふうにはならない。
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