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「量」から「アフィン空間/線型空間」へ

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• “長さ",“重さ",“容積",“時刻/時間",“速さ”のような量は，実アフィン空間/線型空間と見なせます。
  それぞれのカテゴリー（たとえば“時刻/時間”) において，それに属する個々の量（個々の時刻/時間) は，(実アフィン空間/線型空間の要素としての) 点/ベクトルと見なせます。
  
  
• “時刻/時間”の場合：
  1. 先ず，時刻全体の集合 E を仮構します。
     E の要素としての時刻の位置づけは，「点」です。
  2. 二つの時刻に対しては，日常語レベルで，一方の時刻に対する他方の時刻の差＝変位を対象化できます。これは，方向付きの時間にあたります。
     方向付き時間全体の集合 D を仮構します。
     D の要素としての方向付き時間の位置づけは，「ベクトル」です。
  3. このE，Dに対して，実アフィン空間（E,D,）を構成できます。
     • 時刻/時間のこの定式化では，時間に対して和や，実数倍が定義されます。しかし，時刻どうしを足したり，時刻を実数倍したりということは，やりません。( 「時刻・時間・数」の算法)

• “長さ”の場合：
  1. 先ず，長さ全体の集合 E を仮構します。
  2. 二つの長さに対しては，一方の長さに対する他方の長さの差＝変位(ベクトル)というものを対象化できます。
     この変位全体の集合 D を仮構します。
  3. このE，Dに対して，実アフィン空間（E,D,）を構成できます。
     • 但しこの場合には，Eの要素に対するDの要素の作用は，つねには定義されません。
       （例：長さ〈3ｍ〉に対する〈5ｍ減〉の作用は定義されない。）
     • 長さのこの定式化では，足したり，実数倍ができるのは，長さそのものではなく，長さの差＝変位(ベクトル)の方です。
  
  
• 実線型空間は“体Ｋ上の線型空間（D,Ｋ)”の概念に一般化され^(註)，これの要素が一般に“ベクトル”と呼ばれます。
  
  
• 高校数学では，“ベクトル”は実線型空間（D,）の要素として主題になります。

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(註)	実数体上の線型空間としての実線型空間は，体Ｋ上の線型空間の概念に一般化されます。実際，線型空間（D,）の定義においては体としてのみ効いています。 　Dの要素が“ベクトル”と呼ばれるのに対し，Ｋの要素は,“スカラー”と呼ばれます。スカラーの身分は，ベクトルの“係数”です。