長方形の面積は,隣り合う2辺の長さの数値に対する計算で求めることができます。
最初に,<長さの数値が自然数の場合>をやってみましょう。
つぎの長方形の面積 (単位 cm2) を考えます:
面積を求めるとは,「単位長さ四方の正方形がいくつ入るか」を求めるということです。
そして,単位 cm2 で面積を求めるとは,つぎの敷き詰めを考えることです:
あるいは
cm2 を単位とする数値「?」の立式は,
最初の図のように「2倍して3倍」のように構造化したときは,「2×3」
後の図のように「3倍して2倍」のように構造化したときは,「3×2」
に,それぞれなります。
(確認: 積の意味 (記号「×」の文法))
すなわち,
「cm2 を単位とした面積の数値が,
隣り合う2辺の長さの cm を単位とした数値の積で求められる。」
ということです。
そして,このことを短く言い表したのが「タテ × ヨコ」です。
「タテ × ヨコ」は,長さ × 長さ ではありません。
「×」は,数に対して定義されます。
「重さ × 重さ」を考えよと言われたら,「何それ?!」のリアクションになるはずです。「長さ × 長さ」も,このようにリアクションするべきものです。
<長さの数値が分数値の場合>にも,いま述べた意味の「タテ × ヨコ」を既に使っているでしょう。
どうしてこの計算になるのかも,確認しておきます。
つぎの長方形の面積 (単位 cm2) を考えましょう:
しかし,この長方形の面積は,「cm 四方の正方形の面積の (8/3 × 7/2) 倍」あるいは「cm 四方の正方形の面積の (7/2 × 8/3) 倍」と求められます:
どうして?
ここでは,つぎのことを使います:
実際,これより,つぎの関係が成立します:
あるいは
(確認: 積の意味 (記号「×」の文法))
註 : |
つぎの倍が 8/3 倍になることを説明します:
左右の長方形のタテの長さを 3 と 8 に共約する長さがとれます。
この長さをタテの長さとし,ヨコの長さが同じである長方形をとります。これによって,左右の長方形が 3 と 8 に共約されます:
よって,面積の 8/3倍が結論されます:
(確認: 分数の意味)
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