Up | 3次元ベクトルの四元数倍は? | 作成: 2007-10-21 更新: 2007-10-25 |
ただし,複素数倍が「回転・倍」の作用であり,これの3次元への拡張を目論んだのが四元数の起こりでしたので,「3次元実ベクトルの回転・倍計算への四元数の応用性」の想いは依然残ります。 そこで,「3次元実ベクトルの四元数倍」がどのようなものになるか,ここでチェックしてみることにします。 四元数は4次元実ベクトルに対して倍作用します。 そこで,3次元実ベクトル ( x, y, z ) を ( 0, x, y, z ) の形で4次元実ベクトル空間に埋め込んで考えるというのが,自然な考え方になります。 しかしこの場合,3次元ベクトルの四元数倍は,3次元ベクトルの中におさまりません。 例えば,こんな具合です:
しかし,この場合つぎのようにすると,3次元ベクトルの中におさまります:
そこで,これをヒントに,つぎの積の展開パターンから,「3次元実ベクトルで閉じる四元数倍のパターン」を探ってみることにします:
× (ax i + ay j + az k ) × (gr + gx i + gy j + gz k ) = ( ー fr gx ー fx gr + fy gz ー fz gy ) ax + ( ー fr gy ー fx gz ー fy gr + fz gx ) ay + ( ー fr gz + fx gy ー fy gx ー fz gr ) az + ( fr gr ー fx gx + fy gy + fz gz ) ax + ( fr gz ー fx gy ー fy gx ー fz gr ) ay + ( ー fr gy ー fx gz + fy gr ー fz gx ) az ) i + ( ( ー fr gz ー fx gy ー fy gx + fz gr ) ax + ( fr gr + fx gx ー fy gy + fz gz ) ay + ( fr gx ー fx gr ー fy gz ー fz gy ) az ) j + ( ( fr gy ー fx gz ー fy gr ー fz gx ) ax + ( ー fr gx + fx gr ー fy gz ー fz gy ) ay + ( fr gr + fx gx + fy gy ー fz gz ) az ) k
![]() ここで,一般的に実部を 0 にするのは,つぎの場合 ( fr + fx i + fy j + fz k と gr + gx i + gy j + gz k が「共役」の場合):
そしてこのとき, = ( ( fr2 + fx2 ー fy2 ー fz2 ) ax + 2 ( ー fr fz + fx fy ) ay + 2 ( fr fy + 2 fx fz ) az ) i + ( ( fr2 ー fx2 + fy2 ー fz2 ) ay + 2 ( ー fr fx + fy fz ) az + 2 ( fr fz + fx fy ) ax ) j + ( ( fr2 ー fx2 ー fy2 + fz2 ) az + 2 ( ー fr fy + fx fz ) ax + 2 ( fr fx + fy fz ) ay ) k
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