Up ２次元の「回転・倍」は，３次元で考えている！ 作成: 2007-11-24
更新: 2007-11-24

    ２次元ベクトルに対する「回転・倍」の作用は，つぎのような２次元ベクトル空間の変換 f として考えられています：

      ゼロでないベクトル v を任意にとる。
      v を (1, 0) とするように x-y 座標をとる。
      f は，f(v) ＝ ( ax, ay ) で決まる。

    「一つのベクトルの移動先が決まれば，すべてのベクトルの移動先が決まる」ということです。 （これは，「作用」が「数」に昇格するための基本要件です。)

    ここで，「v を (1, 0) とするように x-y 座標をとる」に注意しましょう。
    「任意のベクトル v に対し，これを (1, 0 ) とする x-y 座標」が一意に決まらないと，「f は，f(v) ＝ ( ax, ay ) で決まる」のようにできません。
    x 軸は一意に決まります。
    y 軸はどうでしょう？


    黒板に，ｘ軸を任意の傾きで書きます。 すると，このｘ軸に対してｙ軸が決まります。 すなわち，原点を中心にして，ｘ軸を時計の針と反対回り (左回り) に 90゜回転したのが，y 軸になります。

    この操作は，３次元に棲むことで可能になっています！
    ２次元に棲んでいたら，ｘ軸に対する y 軸を決めることができません。

    どういうこと？

    「時計の針と反対回り (左回り)」は，黒板に正対するポジションをとることで言えることです。 このポジジョンは，黒板の「前と後ろ (表と裏)」を定めることのできるポジションです。 ２次元の中に棲む者は，「前と後ろ (表と裏)」を定めることができません。


    以上のことを，もう少し数学的な表現を使って，まとめましょう。
    ２次元ベクトル空間の変換としての「回転・倍」は，つぎのように３次元で考えています：

    1. ２次元ベクトル空間を，３次元ベクトル空間の中に２次元超平面 H として＜埋め込む＞。
    2. H 上に原点 O をとる。
    3. 原点を通り H に垂直に，ｒ軸をとる。
    4. このとき，H 上に任意にとった x 軸に対し，ｒ軸，x 軸とあわさって直交座標系をつくる y 軸が， H の中で一意的に決まる。



    ＜埋め込み＞を数値的に扱えるように，別の言い方も示しておきます：

    1. ３次元ベクトル空間で，ベクトル q をとる。

    2. q を位置ベクトル で考えるとき，・ ＝ 0 となるベクトル 全体が，q に直交する２次元超平面を形成する。

      特に，直交座標系 r-x-y を「r 軸 の上に がある」ようにとるとき，座標が ( 0, x, y ) の形のベクトル 全体が，q に直交する２次元超平面である。

    3. ２次元ベクトル空間を，つぎの要素対応により，この超平面と同一視する：
      ( x, y ) ←→ ( 0, x, y )