4.2.10.1 （Ｎ,＋,×,≦）からの（ND,＋,×,≦）の導出
順序構造を伴う数の系 (Ｎ,＋,×,≦) からは，ND が順序構造を伴う数の系 (ND,＋,×,≦) として，つぎのように導出される。
ｘ,ｙ∈ND に対し，ｘ＝ｓ−ｒ，ｙ＝ｔ−ｒとなるｒ,ｓ,ｔ∈Ｎが存在する(註1)。このとき，ｘ≦ｙ をｓ≦ｔで定義する。── ｘ,ｙを上のように表現したときの条件ｓ≦ｔは，ｒ,ｓ,ｔの取り方に依存していない(註2)から，この定義は意味をもつ。そして，この≦はND の上の全順序関係になる。
さらに，この≦に関して系 (ND,＋,×,≦) が順序構造を伴う数の系になる(註3)。
＞０である元を正元，＜０である元を負元と呼ぶ。
ｘ∈ND が正元であることと，−ｘが負元であることとは，同値。
ｍ,ｎ∈Ｎに対し，
ｍ＜ｎ 
ｎ−ｍ＞０
ｍ＝ｎ ｎ−ｍ＝０
ｍ＞ｎ ｎ−ｍ＜０
が成り立つ。
（註１） ｐ，ｐ，ｑ，ｑ′∈Ｎに対し，ｑ−ｐ＝(ｑ＋ｐ′)−(ｐ＋ｐ′），ｑ′−ｐ′＝(ｐ＋ｑ′)−(ｐ＋ｐ′)。
（註２） ｘ＝ｓ−ｒ＝ｓ′−ｒ′,ｙ＝ｔ−ｒ＝ｔ′−ｒ′のとき，(ｓ＋ｔ′)＋(ｒ＋ｒ′)＝(ｓ＋ｒ′)＋(ｔ′＋ｒ)＝(ｒ＋ｓ′)＋(ｔ＋ｒ′)＝(ｓ′＋ｔ)＋(ｒ＋ｒ′)，よってｓ＋ｔ′＝ｓ′＋ｔ。したがって，ｓ≦ｔとｓ′≦ｔ′は同値。
（註３） ｘ＝ｎ−ｍ，ｙ＝ｎ′−ｍ,ｚ＝ｑ−ｐとすると，ｘ＋ｚ＝(ｎ＋ｑ)−(ｍ＋ｐ），ｙ＋ｚ＝(ｎ′＋ｑ)−(ｍ＋ｐ）。ｘ≦ｙのときｎ≦ｎ′で，これよりｎ＋ｑ≦ｎ′＋ｑ。よって，ｘ＋ｚ≦ｙ＋ｚ。