4.2.7 NDの中へのＮの埋め込み
ND が量の係数の系と意味づけられているとき，“量のｎ回の累加”を量に対するｎ∈Ｎの倍作用と考えれば，ｎ∈Ｎに関するｎ倍と（＋ｎ)倍は同値である。このことを見て，“NDの中へのＮの埋め込み”をつぎのような形で導入する。
写像ｉ：Ｎ─→ND を
ｉ(ｎ)＝＋ｎ （ｎ∈Ｎ）
で定義するとき,ｉは１対１で，
ｉ(ｍ＋ｎ)＝ｉ(ｍ)＋ｉ(ｎ)
ｉ(ｍ×ｎ)＝ｉ(ｍ)×ｉ(ｎ)
が成り立つ(註1)。そこでこのｉによって，(Ｎ,＋,×）を（ND,＋,×）の部分（ｉ(Ｎ),＋,×）と同一視できることになる。言い換えると,ｉによって，(Ｎ,＋,×）は（ND,＋,×）に埋め込まれる。またこの意味で，ND はＮの拡張である。
ｎ∈Ｎに対しｉ(ｎ) をｎで表わすとき，つぎが成り立つ：
−ｎ＝−ｎ
ｎ−ｍ＝ｎ＋(−ｍ)(註2)
（註１） (1) ｉ(ｎ)＝ｉ(ｍ）のとき，（ｎ＋ｎ)−ｎ＝＋ｎ＝＋ｍよりｎ＋ｎ＝ｎ＋ｍ，よってｎ＝ｍ。即ち，ｉは１対１。
(2) ｉ(ｍ＋ｎ)＝(ｍ＋ｍ＋ｎ＋ｎ)−(ｍ＋ｎ)＝((ｍ＋ｍ)−ｍ)＋(ｎ＋ｎ)−ｎ)＝ｉ(ｍ)＋ｉ(ｎ)。
(3) ｉ(ｍ×ｎ)＝((ｍ＋ｎ)2＋ｍ×ｎ)−(ｍ＋ｎ)2＝((ｍ＋ｎ)−ｎ)×((ｍ＋ｎ)−ｍ)＝ｉ(ｍ)×ｉ(ｎ)。
（註２） (1) −ｎは＋ｎ＝ｎの対称元。
(2) ｎ＋(−ｍ)＝(＋ｎ)＋(−ｍ)＝((ｎ＋ｎ)−ｎ)＋(ｍ−(ｍ＋ｍ))＝(ｎ＋ｎ＋ｍ)−(ｎ＋ｍ＋ｍ)＝ｎ−ｍ。