6.1.2 量形式の定義，量の系


　“量の系”の定義──先の要件 (A),(B) を満たすような定義──は，可換半群（Ｑ,＋）(註1)と数の系（Ｎ,＋,×）が外算法（数の倍作用）×でつながっている系

（(Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),×）

の定義になる。そしてそれは，つぎの二通りに考えられる：
  1. Ｑの要素で測定単位になるものが存在する．そして，×がつねに定義される．
  2. Ｑの任意の要素──零元０が存在するときは，０と異なる任意の要素──が，測定単位になる．そのかわり，×がつねに定義されるとは限らない。

ここで，ｕ∈Ｑが測定単位になるとは，任意のｘ∈Ｑに対しｘ＝ｕ×ξとなるξ∈Ｎが一意的に存在することである。（特に，Ｑはｕで生成される。）──われわれは,“測定可能性”を量の根本規定と考える。

　(i) は，（(Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),×）が，Ｎ∈｛,,,,+,,} に対する

（(Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×）

と同型な場合である。このとき，１∈Ｎに対応する要素ｕ∈Ｑが測定単位になる。

　(ii) は，Ｎ∈｛,,+,,｝とＮの下位の数の系Ｍに対する

（(Ｍ,＋),(Ｎ,＋,×),×）

と同型な場合である。

　われわれとしては,“量の系”を (i) によって定義するとしよう。即ち，数の系（Ｎ,＋,×）に対し，系

（(Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×）

と同型な系（(Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),×)(註2)を，量の系と定める。

　量の系（(Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),×) の含意として，つぎのことが成り立つ(註3)：
  1. ＋は結合的かつ可換
  2. (ｘ×ξ)×η＝ｘ×(ξ×η)
  3. ｘ×１＝ｘ
  4. Ｑが零元０をもつとき，０×ξ＝０
  5. ｘ×(ξ＋η)＝ｘ×ξ＋ｘ×η
    (ｘ＋ｙ)×ξ＝ｘ×ξ＋ｙ×ξ
  6. ｘ＋ｙ＝ｘ＋ｚ ｙ＝ｚ
  7. ｘ×ξ＝ｘ×ηかつｘ∈Ｑ* ξ＝η
  8. つぎの条件を満たすＱの要素ｕが存在する：
    任意のｘ∈Ｑに対し，ｘ＝ｕ×ξとなるξ∈Ｎが一意的に存在する．

ここでＱ*は，Ｑが零元０をもつときはＱ＼{０} で，そうでないときはＱ自身。

　なお，Ｎ∈｛,,+,,｝に対する（(Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×）と同型な（(Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),×）では，

　(iii) Ｑの任意の要素──零元０が存在するときは，０と異なる任意の要素──が，測定単位になり，かつ，×がつねに定義される．

となる。

　ｘ，ｙ∈Ｑ，ξ∈Ｎに対し，関係ｘ＝ｙ×ξは,“ｘはｙのξ倍”と読まれる。また，ξは“ｘのｙに対する比”とも読まれ,ｘ：ｙと記される（ただし，Ｑに０が存在するときはｙ≠０の場合)。


（註１） （Ｑ,＋）の＋を，文脈から数の系（Ｎ,＋,×）の＋と区別すること。表記の簡便のために新しい記号を導入することはしない。

（註２） この場合の同型対応ｆ：Ｑ─→Ｎの条件は， （註３） 同型対応ｆ:Ｑ─→Ｎに対し，
  1. (ｘ＋ｙ)＋ｚ＝ｆ-1(ｆ((ｘ＋ｙ)＋ｚ))＝ｆ-1((ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ))＋ｆ(ｚ))＝ｆ-1(ｆ(ｘ)＋(ｆ(ｙ)＋ｆ(ｚ)))＝ｆ-1(ｆ(ｘ＋(ｙ＋ｚ)))＝ｘ＋(ｙ＋ｚ)。同様に，＋は可換。
  2. ｘ×(ξ×η)＝ｆ-1(ｆ(ｘ×(ξ×η)))＝ｆ-1(ｆ(ｘ)×(ξ×η))＝ｆ-1((ｆ(ｘ)×ξ)×η)＝ｆ-1(ｆ(ｘ×ξ)×η)＝ｆ-1(ｆ((ｘ×ξ)×η))＝(ｘ×ξ)×η。
  3. ｘ×１＝ｆ-1(ｆ(ｘ×１))＝ｆ-1(ｆ(ｘ)×１)＝ｆ-1(ｆ(ｘ))＝ｘ。
  4. ０×ξ＝ｆ-1(ｆ(０×ξ))＝ｆ-1(ｆ(０)×ξ)＝ｆ-1(０×ξ)＝ｆ-1(０)＝０。
  5. ｘ×(ξ＋η)＝ｆ-1(ｆ(ｘ×(ξ＋η)))＝ｆ-1(ｆ(ｘ)×(ξ＋η))＝ｆ-1(ｆ(ｘ)×ξ＋ｆ(ｘ)×η)＝ｆ-1(ｆ(ｘ×ξ)＋ｆ(ｘ×η))＝ｆ-1(ｆ(ｘ×ξ＋ｘ×η))＝ｘ×ξ＋ｘ×η。同様に，(ｘ＋ｙ)×ξ＝ｘ×ξ＋ｙ×ξ
  6. ｘ＋ｙ＝ｘ＋ｚ ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ＋ｚ) ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｚ) ｆ(ｙ)＝ｆ(ｚ) ｙ＝ｚ。
  7. ｘ∈Ｑ* に対し，ｆ(ｘ)∈Ｎ*。そしてこのとき，ｘ×ξ＝ｘ×η ｆ(ｘ×ξ)＝ｆ(ｘ×η) ｆ(ｘ)×ξ＝ｆ(ｘ)×η ξ＝η。
  8. ｕ＝ｆ-1(１) とする。任意のｘ∈Ｑに対しξ＝ｆ(ｘ) とすると，ｘ＝ｆ-1(ｆ(ｘ))＝ｆ-1(１×ξ)＝ｆ-1(ｆ(ｕ)×ξ)＝ｆ-1(ｆ(ｕ×ξ))＝ｕ×ξ。１∈Ｎ*よりｕ∈Ｑ*。よって，(7)よりｘ＝ｕ×ξとなるξ∈Ｎは一意。